Олимпиадная задача по математике

SHYRIK

Имеется неограниченное число одинаково раскрашенных кубиков с ребром, равным 1, таких, что каждая грань раскрашена в один из шести цветов. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов 2*1*1 можно составить из этих кубиков (склеивая их по грани)?
Студенты предлагают ответ "84", приводят какие-то вроде бы разумные соображения, но что-то я в этом ответе не уверен, хотелось бы свериться с кем-нибудь...
(задача взята с командного тура студенческой олимпиады по математике для нематематических специальностей)

Xephon

Пару цветов для склейки можно выбрать 21 способами.
При этом совмещать квадраты можно 4 способами.
Итого различных параллелепипедов будет 21*4=84.

SHYRIK

Выбрать цвета для склейки можно 21 способами, \overline{С_6^2}=21

Xephon

 
Выбрать цвета для склейки можно 21 способами, \overline{С_6^2}=21
Правда

blackout

Способов это сделать (6*6)/2=18.
Только не 18, а 21.

SHYRIK

Я пользовался формулой для количества сочетаний из шести по два с повторениями, обозначается как С_n^k с чертой сверху, да можно и просто выписать все комбинации склейки, их 21. Мне было не совсем очевидно, что для каждого такого варианта склейки существует именно 4 способа создать параллелепипед...

Skilet3d

1. Цвета можно выбирать одинаковыми.
2. Вы пользуетесь неправильными формулами для биномиальных коэффициентов.
ты ровно в 2 раза сократил количество способов когда цвета совпадают
ты делишь на 2 из-за повторения пар например 1-2 2-1, но пары типа 1-1 встречаются только один раз и не повторяютсся,
Если все равно не веришь возьми доминушки и посчитай

Xephon

Ответ правильный, только обычно через C^n_k обозначается всё же биномиальный коэффициент.
А четыре способа соответствуют четырём различным поворотам одного квадрата относительно другого.

SHYRIK

Спасибо откликнувшимся, сомнения развеяны :)

Skilet3d

Ответ правильный, только обычно через C^n_k обозначается всё же биномиальный коэффициент.
А четыре способа соответствуют четырём различным поворотам одного квадрата относительно другого.
там было написано не С_6^2 а \overline{С_6^2} что видимо означает дополнение до С_6^2 из всех способов, которых 36, т.е. ровно 21

Xephon

там было написано не С_6^2 а \overline{С_6^2} что видимо означает дополнение до С_6^2 из всех способов, которых 36, т.е. ровно 21

Да, наверное, так и есть :)

SHYRIK

Я думал, что \overline{С_n^k} - стандартное обозначение в литературе для величины C_(n+k-1)^k, равной количеству всех сочетаний из n по k с повторениями...

seregaohota

имхо теорема Редфилда-Пойа о перечислении :)
Например, с помощью неё считается число химсоединений
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: