Быстрое возведение в квадрат

forester_200

После того, как я одному своему ученику показал быстрый способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5 (см. ниже он загорелся мыслью овладеть приёмами быстрого возведения в квадрат вообще любых двузначных чисел. Немного повозившись, я придумал такие алгоритмы. Они конечно, не столь изящные, как для чисел, кратных 5, но всё же.
Думаю, эта тема может заинтересовать тех, кто занимается со школьниками. По опыту могу сказать, что многие (особенно мальчики) в восторге от тех "невероятных способностей", которыми они могут хвастаться перед родителями и интриговать сверстников. Заодно в ученике можно пробудить интерес к тому, откуда всё это берётся (как Вы понимаете, фокусы основаны на формулах квадрата суммы и квадрата разности). Буду рад, если кто-нибудь из форумчан упростит описанные процедуры или предложит принципиально иные и более рациональные приёмы.
Итак, пусть дано натуральное число, для интереса состоящее из 2-х или более цифр.
База числа = натуральное число, получающееся отбрасыванием самой правой цифры;
супербаза числа = база числа, увеличенная на 1.
Например,
для числа 68 базой будет число 6, а супербазой — число 7;
для числа 127 базой будет число 12, а супербазой — число 13.

Алгоритмы быстрого возведения в квадрат (достаточно удобны для 2-значных и некоторых 3-значных чисел):
Если число оканчивается на 0:
а) Базу возводим в квадрат
б) Дописываем справа 00
Пример: Надо возвести в квадрат число 60.
а) 36
б) 3600 (ответ)

Если число оканчивается на 1:
а) Базу возводим в квадрат
б) Приставляем справа 0
в) Прибавляем удвоенную базу
г) Приставляем справа 1
Пример: Надо возвести в квадрат число 81.
а) 64
б) 640
в) 640 + 16 = 656
г) 6561 (ответ)
Пример: Надо возвести в квадрат число 131.
а) 169
б) 1690
в) 1690 + 26 = 1716
г) 17161 (ответ)

Если число оканчивается на 2:
а) Базу возводим в квадрат
б) Приставляем справа 0
в) Прибавляем учетверённую базу
г) Приставляем справа 4
Пример: Надо возвести в квадрат число 52.
а) 25
б) 250
в) 250 + 20 = 270
г) 2704 (ответ)
Пример: Надо возвести в квадрат число 152.
а) 225
б) 2250
в) 2250 + 60 = 2310
г) 23104 (ответ)

Если число оканчивается на 3:
а) Базу умножаем на супербазу
б) Приставляем справа 0
в) Вычитаем учетверённую базу
г) Приставляем справа 9
Пример: Надо возвести в квадрат число 53.
а) 30
б) 300
в) 300 — 20=280
г) 2809 (ответ)
Пример: Надо возвести в квадрат число 103.
а) 110
б) 1100
в) 1100 — 40 = 1060
г) 10609 (ответ)

Если число оканчивается на 4:
а) Базу умножаем на супербазу
б) Приставляем справа 1
в) Вычитаем удвоенную базу
г) Приставляем справа 6
Пример: Надо возвести в квадрат число 34.
а) 12
б) 121
в) 121 — 6 = 115
г) 1156 (ответ)
Пример: Надо возвести в квадрат число 194.
а) 380
б) 3801
в) 3801 — 38 = 3763
г) 37636 (ответ)

Если число оканчивается на 5:
а) Базу умножаем на супербазу
б) Дописываем справа 25
Пример: Надо возвести в квадрат число 45.
а) 20
б) 2025 (ответ)

Если число оканчивается на 6:
а) Базу умножаем на супербазу
б) Приставляем справа 3
в) Прибавляем удвоенную базу
г) Приставляем справа 6
Пример: Надо возвести в квадрат число 66.
а) 42
б) 423
в) 423 + 12 = 435
г) 4356 (ответ)

Если число оканчивается на 7:
а) Базу умножаем на супербазу
б) Приставляем справа 4
в) Прибавляем учетверённую базу
г) Приставляем справа 9
Пример: Надо возвести в квадрат число 27.
а) 6
б) 64
в) 64 + 8 = 72
г) 729 (ответ)

Если число оканчивается на 8:
а) Супербазу возводим в квадрат
б) Приставляем справа 0
в) Вычитаем учетверённую супербазу
г) Приставляем справа 4
Пример: Надо возвести в квадрат число 48.
а) 25
б) 250
в) 250 — 20 = 230
г) 2304 (ответ)

Если число оканчивается на 9:
а) Супербазу возводим в квадрат
б) Приставляем справа 0
в) Вычитаем удвоенную супербазу
г) Приставляем справа 1
Пример: Надо возвести в квадрат число 29.
а) 9
б) 90
в) 84
г) 841 (ответ)

Vlad128

интересно было бы еще выделить общее, сложить в каком-нибудь удобном для восприятия/запоминания виде. Сгруппировать похожие правила там.

forester_200

Я думал об этом. Конечно, можно некоторые приёмы сгруппировать, но чего-то сильно простого не получается :( Или я не очень находчивый...

kolyan

мне иногда удобнее было пользоваться формулой типа (a-ba+b)+b^2
это сводит задачу квадрата двузначного к произведению двузначного и однозначного
например 63^2 = 60*66+9 = 3969

Martika1

Возможно, тебе интересно будет прочитать книгу А. С. Сорокин, "Техника счёта (Методы рациональных вычислений)", М.: Знание, 1976.
Поначалу затягивает, а потом как-то наскучивает.

lenmas

Сурово ты развил обычное правило возведения оканчивающихся на 5 :ooo:

Arthur8

вообще иногда при умножении двухзначных чисел я раскладываю в голове их на составные части и перемножаю. но это так, из жизни...

lenmas

вообще иногда при умножении двухзначных чисел я раскладываю в голове их на составные части и перемножаю
Это самый универсальный способ. Все остальные --- его частные случаи, хотя они могут и выигрывать в скорости.
Я вообще пользуюсь формулой с удвоенным произведением: (10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: