Спектр унитарного оператора

Marina32

у этого опер-ра есть ост. спектр?

vodnik2

Вполне себе может быть. Возьми диагонализируемый унитарный оператор, у которого точечный спектр, скажем, всюду плотен на единичной окружности. Тогда дополнение в окружности к (счетному) точечному спектру и есть остаточный спектр.

griz_a

А почему там нет непрерывного или у меня тупняк?

Marina32

а какой у нее непр. спектр?

Marina32

up

griz_a

Понятия не имею. Вот и хочу узнать, очевидно ли, что у него нет непрерывного?
К сожалению, сам я таких фактов об унитарных операторов не знаю. Может у него нет остаточного, только точечный и непрерывный.

vodnik2

Сорри, перепутал непрерывный (когда резольвента определена на плотном множестве, но не ограничена) и остаточный (который не точечный и не непрерывный) спектры
Из теоремы Банаха об обратном операторе (у биективного ограниченого линейного оператора, отображающего банахово пространство на банахово, есть ограниченый обратный) получаем, что остаточный спектр - это когда Ker(U-\lambda E) пусто, а образ Im(U-\lambda E) не плотен (то есть имеет ненулевое ортогональное дополнение).
Используя два следующих стандартных факта
1) ортогональное дополнение к ядру оператора есть образ сопряженного оператора;
2) сопряженный к унитарному есть его обратный;
получаем, что комплексное число тогда и только тогда лежит в остаточном спектре, когда оно само не лежит в точечном спектре, а сопряженное к нему лежит.
Поэтому в моем примере остаточный спектр состоит в точности из \overline{S}-S, где S - множество собственных значений, а \overline - комплексное сопряжение. Ну, а непрерывный спектр - это точки из замыкание точечного и остаточного спектров, которые сами не попали в точечный или остаточный.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: