Когда компакт не является замкнутым?

soldatiki

Аксиома отделимости Т1: любые две точки имеют окрестности, их разделяющие.
Асиома отделимости Т2 (Хаусдорф): любые две точки имеют непересекающиеся окрестности, их разделяющие.
Утверждение: во всяком Т1-пространстве все одноточечные множества замкнуты.
Утверждение: во всяком Т2-пространстве (т. е. хаусдорфовом) все компакты замкнуты.
А верно ли, что и во всяком Т1-пространстве все компакты замкнуты?

Waleri58

А отрезок с топологией Зарисского не подойдёт как контрпример?
Открыты множества, дополнения к которым конечны. Отрезок замкнутым не может быть, но он компактен.
Всё верно?

soldatiki

Все верно, спасибо.
Таким образом, получаем:
1) если пространство Т2, то в нем все компакты замкнуты
2) если в некотром пространстве все компакты замкнуты, то оно Т1
и критерия Т1-отделимости в терминах замкнутости компактов не получается

svetik5623190

Аксиома отделимости Т1: любые две точки имеют окрестности, их разделяющие.
Есть ещё критерий Т1 отделимости:
В топологическом пространстве для любых двух точек на найдётся открытая окрестность каждой, не содержащая другую, тогда и только тогда, когда одноточечные множества замкнуты.
"Одноточечные" можно заменить на "конечноточечные". Занятно, что компактность оказывается даже в этом смысле более сильным свойством по сравнению с замкнутостью, т.к. конечноточечное множество всегда компактно, но не всегда замкнуто.

svetik5623190

Открыты множества, дополнения к которым конечны.
Называется "кофинитная топология". Аналогично бывает "косчётная" и т.д.

Waleri58

вот сейчас единственное доказательство замкнутости компактов при Т2, которое приходит на ум, использует Т2 в полном объёме:
X - хаусдорфово пр-во.
x принадлежит X \ A. Для каждой точки мн-ва A берём окресность, замыкание которой не содержит x (Т2). Выделяем конечное подпокрытие открытыми множествами. Объединение их замыканий S содержит в себе A и не содержит x - X \ S будет окресностью x, не пересекающейся с A.

soldatiki

Кстати, получается некий промежуточный между Т1 и Т2 класс топологических пространств: пространства, где все компакты замкнуты. Интересно, есть ли у этого класса какая-то другая характеристика, скажем, в терминах стандартных аксиом типа отделимости и счетности.

svetik5623190

Мне тоже интересно.
На самом деле аксиом отделимости гораздо больше:
Помимо Т0, Т1, Т2, Т3, Т4 существуют ещё их аналоги с чертой, в этом случае всюду окрестность (-ти) должна (-ны) не пересекаться вместе со своим замыканием.
Может попробовать в этих терминах что-то намутить?

soldatiki

да, а еще есть Т-3,5 и потом все те же аксиомы с требованием наследственности: чтобы свойство выполнялось для всех подпространств. Может, среди аксиом с чертой что-нибудь найдется.

svetik5623190

а еще есть Т-3,5
Вас ис дас?
И как соотносится требование наследственности с номерами? Т2 например очевидно наследственна, поэтому Т2 с наследственностью не даст новой аксиомы. А вот Т3 с наследственностью и Т4 (с чертой и без) как соотносятся?

z-helenium

 >> а еще есть Т-3,5
 > Вас ис дас?
  Опр. Топологическое T1-пространство T называется вполне регулярным, если для каждого замкнутого множества F из T и каждой точки из T \ F существует непрерывная на T действительная функция f, равная нулю в точке , единице на F, и удовлетворяющая условию 0 ≤ f(x) ≤ 1.

svetik5623190

То есть Т3.5 это Т1 плюс существование нормированного непрерывного разделящиего функционала?

Waleri58

То есть Т3.5 это Т1 плюс существование нормированного непрерывного разделящиего функционала?
третья аксиома тут, очевидно, выполняется, а ещё существует куча замкнутых множеств, содержащих x и имеющих с F непересекающиеся окресности - то есть почти Т4.

soldatiki

Т3.5 это Т1 плюс существование нормированного непрерывного разделящиего функционала
иногда T-1 не требуется, как в формулировке Т-3. Тогда из Т-3,5, как и из Т-3, не следует даже Т-0.

Waleri58

Кстати, получается некий промежуточный между Т1 и Т2 класс топологических пространств: пространства, где все компакты замкнуты. Интересно, есть ли у этого класса какая-то другая характеристика, скажем, в терминах стандартных аксиом типа отделимости и счетности.
Косчётная топология, похожая на кофинитную, которую я приводил ранее, будет, судя по всему, примером такого Т1 пространства, не являющегося при этом Т2. Но тут имеются только конечные компакты. Возможно ли такое при бесконечных компактах?
Кстати, если в пространстве с замкнутыми компактами у любой точки x имеется окресность, содержащаяся в некотором компакте, то это пространство удовлетворяет Т2, так как, удаляя произвольную точку y != x из компакта, мы получаем вновь компактное=>замкнутое множество, в котором содержится окресность x и не содержится y. Не знаю, даёт ли это что-то

lena1978

удаляя произвольную точку y != x из компакта, мы получаем вновь компактное=>замкнутое множество
это почему?

Waleri58

блин, ступил. а ведь есть очевидные контрпримеры
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: