Задачка по геометрии

ETrohkina

кароче стержень длины L в стакане (красный) скользит по вертикальной стенке стакана.
Напишите условие на отношение размеров стакана и длины стержня, чтобы скользя вверх по стенке стакана одним концом, другой конец стержня всегда опускался (с момента движения от угла) относительно параллели (серый пунктир). (но опускаться всегда, т.е сама серая пунктирная параллель на рисунке должна всегда опускаться)
Или он всегда в какой-то промежуток времени будет подниматься?
длина сторон и дна стакана даны, стороны равны. длина стержня дана.
зы. вот, например, граничный случай: длина стержня равна диагонали стакана, тогда верхний конец сначала поднимается.

ETrohkina

кароче мне кажется, что конец какое-то время поднимается, а потом опускается.
прям как в жызни
только доказать надо

slsf

Используя полярные координаты найди уравнение для конца стержня, отталкивайся от случая когда длинна его равна диагонали стакана, затем переведи уравнение в декартовы координаты и найди экстремум данной функции, тем самым ты найдешь условия на этот экстремум, то есть угол при котором он достигается и соотношение этого угла (параметры стакана) с длинной стержня.

elektronik

Пусть высота левого края стержня относительно дна равна h. Тогда угол, который образует стержень с горизонталью, \alpha = arctg( (a - h) / b ). Высота правого угла равна
h + l sin \alpha = h + l tg \alpha / \sqrt {1 + tg^2 \alpha} = h + l (a - h) / \sqrt {b^2 + (a-h)^2}
берём производную по h:
1 - l / \sqrt {b^2 + (a-h)^2} (1 - (a-h)^2 / {b^2 + (a-h)^2}) = 1 - l b^2 / (\sqrt {b^2 + (a-h)^2})^3
l b^2 / (\sqrt {b^2 + (a-h)^2})^3 > 1
l^2 b^4 > (b^2 + (a-h)^2)^3
Получается при "хороших" параметрах, что вначале правый конец поднимается, затем начинает опускаться, но в какой-то момент снова поднимается (но это при больших h -- когда левый конец выше края стакана).
Должно выполняться при любом h >= 0, значит, l^2 b^4 > (a^2 + b^2)^3.

a7137928

Решать ломает... Методом геометрического моделирования в программе Джеометерз Скетчпэд:
если ширина стакана много больше высоты, то конец стержня только опускается
если ширина меньше высоты, сравнима или чуть больше, то сначала поднимается, потом опускается.

ETrohkina

круто
а то есть задачка о стержне. типа какой груз надо подвесить к верхнему концу, чтобы стержень выехал из стакана.
преподы всего волногаза втыкали, доказывали, что можно подобрать такую массу
а оказывается, что не всегда

slsf

Что за прога ? Эти крайние случай и так довольно ясны.

ETrohkina

если ширина стакана много больше высоты, то конец стержня только опускается
а как же мой крайний случай, когда длина стержня равна диагонали?
там полюбэ сначала поднимается

elektronik

Я же решение уже привёл. Что-то непонятно?
В моём ответе так и выходит, что если длина стержня равна "диагонали" стакана, то он вначале будет подниматься!

ETrohkina

Получается при "хороших" параметрах, что вначале правый конец поднимается, затем начинает опускаться, но в какой-то момент снова поднимается (но это при больших h -- когда левый конец выше края стакана).
т.е. при любых параметрах есть момент когда правый конец поднимается?

elektronik

Нет!
Итоговое соотношение, чтобы правый конец опускался с самого начала: l^2 b^4 > (a^2 + b^2)^3.

ETrohkina

l^2 b^4 > (a^2 + b^2)^3.
т.е. при этом равенстве всегда опускается?
спасибо!

elektronik

Ну при больших h получается, что правый конец начнёт подниматься, но это будет когда левый конец будет выше края стакана -- двигаться по той же вертикали.

ETrohkina

ё-маё. как всё сложно
но всё-таки есть такие параметры, когда постоянно опускается, да?

ETrohkina

мля, тупю =)

elektronik

Ну при больших h получается, что правый конец начнёт подниматься, но это будет когда левый конец будет выше края стакана -- двигаться по той же вертикали.
Под этим я просто имел ввиду то, что если левый конец продолжит движение по той же вертикали, то в некоторый момент угол между стержнём и горизонталью будет уменьшаясь стремиться к (- \pi / 2) (стержень будет направлен вниз... но правый конец будет подниматься -- стержень же жёсткий

ETrohkina

всё, жёсткое, да. и задачка жесть
полная задача, ещё раз, звучит так: какую массу надо подвесить на правый конец, чтобы стержень выскользнул из стакана.
массу то найти легко, но для этого надо, чтобы конец опускался постоянно. иначе сила тяжести не сможет совершать работу по поднятию.
прикольно то, что ни слова о геометрии
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: