Нелинейный оператор в L_1[0,1]

tester1

В малой окрестности нуля он тождественный
2. Он определён всюду на L_1[0,1]
3. Он и все его производные Фреше равномерно непрерывны
4. Он и все его производные Фреше ограничены в том смысле, что образ всего L_1[0,1] лежит в некотором шаре
?

toxin

[math]$g(x)\rightarrow g(x) + f(g(x$[/math], где [math]$f(x)$[/math] — бесконечно гладкая ступенька вроде подходит.

tester1

увы, нет:
ограничены в том смысле, что образ всего L_1[0,1] лежит в некотором шаре

toxin

А если сделать f(g(x где f(x) сначала линейная, а потом бесконечно гладко выходит на константу?

tester1

Возможно, сработает. Надо посчитать производные и убедиться, что результат будет лежать в L_1. Как сделаю, расскажу о результатах.
Кстати, я нашёл лажу в том черновике, что ты читал Ошибка была при подстановке одной формулы в другую. Уже исправил. Но итоговая формула немного другая получается.

tester1

Возможно, сработает. Надо посчитать производные и убедиться, что результат будет лежать в L_1.
Не, не получается: рассмотрим дельта-образую последовательность в форме прямоугольной ступеньки высотой n и длиной не равного нулю участка 1/n^2. Эта последовательность сходится в L_1 к нулю и поэтому войдёт в любую окрестность нуля. Вместе с тем, начиная с некоторого n она будет обрезана функцией f, поэтому оператор на ней не будет тождественным для больших n.

tester1

Кстати, почему эта задача интересна? А потому, что если существует оператор с интересующими нас свойствами
1. В малой окрестности нуля он тождественный
2. Он определён всюду на L_1[0,1]
3. Он и все его производные Фреше равномерно непрерывны
4. Он и все его производные Фреше ограничены в том смысле, что образ всего L_1[0,1] лежит в некотором шаре
то можно доказать теорему о центральном многообразии для динамики в L_1.

toxin

А если так: [math]$ f(||g||_1)g(x)$[/math], где f(x) сначала 1, а потом выходит на const/x?

tester1

С гладкостью могут быть проблемы, даже в одномерном пространстве норма - модуль числа - штука негладкая.
А вот если взять квадрат нормы, то, может, и получится. Проверю, спасибо.

tester1

Итак, [math]$F\colon L_1[0,1]\ni g\longmapsto F(g)=[x\longmapsto f(\|g\|^2)g(x)]\in L_1[0,1].$[/math]
Где [math]$f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$[/math] - гладкая функция из [math]$\mathcal{D}(\mathbb{R})$[/math], равная на [-1,1] тождественной единице, равная нулю вне [-4,4] и имеющая ограниченные производные. О том, как строить такие функции см., например, Рудин. Функциональный анализ.(Для издания Меркурий-пресс, Череповец, 2000 г страница 44).
 Тогда функционал [math]$g\longmapsto f(\|g\|^2)$[/math] гладкий(апд: хрен там) и ограниченный, и, что важно, равен нулю при [math]$\|g\|\geq 2$[/math]. Помножая его на тождественный оператор, получаем то, что нужно.
Ура Халявину!
Впрочем, надо ещё немного подумать над гладкостью.

toxin

С гладкостью могут быть проблемы, даже в одномерном пространстве норма - модуль числа - штука негладкая.
Даже модуль становится гладким, если к нему применить функцию, равную единице в окрестности нуля.

tester1

Кстати да =) Чёт ступил :)

tester1

А зачем ты хотел const/x? Ноль-то лучше, потому что ограниченность очевиднее.

tester1

Не, хрен. Не работает. Норма в нерефлексивном пространстве не может быть гладкой, поэтому для доказательства гладкости построенного Андреем оператора нельзя применять цепное правило.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: