Открытые и замкнутые множества

evgeniy86

Не дает мне покоя один вопрос. Множество всех действительных чисел, если я правильно понимаю, открытое (я вообще не математик, поэтому поправьте, если ошибаюсь, и скажите, почему нет). А если взять расширенное мн-во (которое R с чертой, где есть два доп. элемента - плюс и минус бесконечность оно будет замкнутым? А если взять R*?
А еще вот, если взять R и выкинуть оттуда какой-нибудь интервал, скажем, (0;1 то оставшееся множество - дополнение к открытому и, следовательно, замкнутое?
Буду очень благодарна ответившим.

blackout

Открытое где? R в R является и открытым и замкнутым, например :)

evgeniy86

А как звучат определения, где указывается, где находятся множества? (в моих книжках просто написано, типа открытое множество - это такое мн-во, каждая точка кот. входит в него со своей окрестностью)
Почему R в R и открытое, и замкнутое?
А если все же из R в R выкинуть интервал, оставшееся мн-во тогда по-любому будет замкнутым?

aszxdfcv

> Почему R в R и открытое, и замкнутое?
Открытость проверяется по определению.
Замкнутое множество - это то, чье дополнение открыто.
Дополнение R в R - пустое множество. Оно открыто.
> А если все же из R в R выкинуть интервал, оставшееся
> мн-во тогда по-любому будет замкнутым?
Если выкинуть открытый интервал (a, b то да, будет
замкнутым по определению.

blackout

R без интервала замкнуто в R.
В объемлющем множестве вводится топология и в соответсвии с ней все подмножества могут быть замкнутыми и/или открытыми или никакими. Само множество является и открытым и замкнутым, как R в R например.
R в R2 замкнуто, но не открыто. R без бесконечной точки никакое в R2 с бесконечной точкой. R с бесконечной точкой замкнуто в R2 с бесконечной точкой. Все это в обычной топологии.

evgeniy86

Замкнутое множество - это то, чье дополнение открыто.
Дополнение R в R - пустое множество. Оно открыто.
А почему пустое множество открыто? Я встречала в книжках фразы типа "пустое множество явл. замкнутым по определению" А еще "пустое множество открыто и замкнуто одновременно".

blackout

По определению топологического пространства. Например тут http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%EF%EE%EB%EE%E3%E8%F7%E5%...
Пустое и всё множества открытые. Кроме того они замкнутые, так как являются дополнениями друг друга.

evgeniy86

Вот оттуда:
Пара (X,\;\mathcal{T}) называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие \mathcal{T}, называются открытыми множествами.

Не могу понять, вот, например, (R,T) - топологическое пространство. Возьмем какой-нибудь интервал, он будет принадлежать Т. Выберем отрезок, принадлежащий интервалу, тогда он будет тоже принадлежать Т. Судя по вышеприведенному определению, отрезок будет открытым множеством?!

blackout

Выберем отрезок, принадлежащий интервалу, тогда он будет тоже принадлежать Т
Это неверно. В определении не сказано, что подмножество открытого множества открыто.

evgeniy86

Но ведь подмножество открытого множества принадлежит Т? А множества, принадлежащие Т, называются открытыми.

spiritmc

> Но ведь подмножество открытого множества принадлежит Т?
Неверно.
---
"Vyroba umelych lidi, slecno, je tovarni tajemstvi."

Suebaby

Не могу понять, вот, например, (R,T) - топологическое пространство. Возьмем какой-нибудь интервал, он будет принадлежать Т. Выберем отрезок, принадлежащий интервалу, тогда он будет тоже принадлежать Т. Судя по вышеприведенному определению, отрезок будет открытым множеством?!
Т — это множество множеств. Семейство множеств.
Если R — прямая, то в качестве стандартной топологии T рассматривают все интервалы и их объединения.

lena1978

Открытое множество в R - это такое множество, которое с любой своей точкой содержит маленький шарик (окрестность).
Закнутое множество в R - это дополнение к открытому. т.е., все любая точка из дополнения лежит в маленьком шарике, не задевающем за наше множество.
Открытыми будут все интервалы (и само R замкнутыми - все отрезки (это примеры, отрытых и замкнутых множеств на прямой больше).
Самый большой интервал - все R также считается замкнутым множеством, так как дополнение пусто (-+бесконечность пока не рассматриваем, поэтому нет точек, любая окрестность которых задевает за R и не принадлежащих R).
Получается, само R и открыто и замкнуто. Дополнение к интервалу - также замкнутое множество.
Однако некоторый диссонанс, который ты ощущаешь на интуитивном уровне, когда тебе говорят, что R замкнуто, вполне материален. Прямая не похожа на отрезок, так как любая последовательность, лежащая в отрезке, сходится к точке отрезка (либо подпоследовательность этой последовательности). А на прямой возрастающей в бесконечность последовательности сходиться некуда. Кратко мы говорим, что отрезок является компактом, а прямая - нет. Но оба множества замкнуты. Любой компакт замкнут, но не любое замкнутое множество компактно.
Благодаря этому свойству, что из любой последовательности множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность (к элементу этого же множетсва с компактами очень удобно работать (компактость влечет сразу много хороших свойств множетсва).
Чтобы прямой привить компактность, к ней часто добавляют две точки - -+бесконечность. При этом монотонно уходящие в бесконечность последовательности должны сходиться к этим точкам. Чтобы это выполнялось, к привычным шарикам-окрестностям добавляют окрестности бесконечности. Окрестность +бесконечности - это полуинтервал с концом в +бесконечности плюс сама точка +бесконечность, на бумаге пишут (a, +бесконечность]. ДЛя -бесконечности аналогично. Формально распространяя определение предела на такие окрестности, получаем то, что надо. Компакт R с чертой. Благодая компактности, R с чертой больше похоже на отрезок, чем на интервал, как было с R.
"Просто" R содержится в R с чертой и продолжает быть в нем открытым множеством, но уже не замкнутым! Это то, чего тебе интуитивно хотелось.
Дополнение к интервалу останется замкнутым в R с чертой. {upd Дополнение в R с чертой, а не дополнение к R}.
Кстати, для компактности хватило бы и одной точки - бесконечность без знака (R с чертой можно свернуть в колечко).
Что такое R* не знаю.

> Дополнение к интервалу останется замкнутым в R с чертой.
upd Имел в виду дополнение в R с чертой, а не дополнение в R, рассматриваемое в R с чертой.

natali22061979

Да восславят в веках твою мудрость! Я наконец-то кажись понял эту выворачивавшую мне мозг проблему открытости/замкнутости R.
Отчего столь толково не пишут в книжках?
Пиши книжку!

spiritmc

> Что такое R* не знаю.
Гипердействительные?
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

lena1978

:grin:
в нестандартном ни чем не шарю. пытался как-то Вопенку осилить - не получилось.

spiritmc

Топология не должна меняться, иначе соответствие нарушится.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

evgeniy86

Кстати, для компактности хватило бы и одной точки - бесконечность без знака (R с чертой можно свернуть в колечко).
Что такое R* не знаю.
У нас так как раз обозначалось R, свернутое в колечко (называлось "проективная прямая")

evgeniy86

Т — это множество множеств. Семейство множеств.
Если R — прямая, то в качестве стандартной топологии T рассматривают все интервалы и их объединения.
Вроде дошло. Т.е. интервал - это элемент множества Т?

Vlad128

Вроде дошло. Т.е. интервал - это элемент множества Т?
Мне кажется тебе лучше не думать сейчас о топологиях. очень хорошо написал, на доступном уровне. Все-таки топологии - это уже когда освоишься с имеющимися понятиями открытых и замкнутых множеств.

stm7543347

Любой интервал - элемент T, но не наоборот.

stm7543347

А почему пустое множество открыто? Я встречала в книжках фразы типа "пустое множество явл. замкнутым по определению" А еще "пустое множество открыто и замкнуто одновременно".
1. В общем определении топологического пространства открытость пустого является аксиомой.
2. Что касается частного случая R с привычной топологией - то пустое множество действительно открыто: вместе с любой своей точкой оно содержит и ее окрестность, все честно. Можешь проверить. :)

lena1978

А теперь, любезный , победи проблему открытости и замкнутости R с чертой ;) :D
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: