cos(x)+cos(2x)+cos(3x)...+cos(nx)+...=?

Marina32

Напиши, плз, выражение для этой суммы

Sup6991lis

ну, если демидович нам не врет, сумма cos(nx)/n^2 = (3x^2 - 6pi*x + 2pi*pi)/12 по n от 1 до бесконечности при x от 0 до pi
мб этот результат как-то поможет?

demiurg

расходится

halithh

Если нужны рассуждения, то решение примерно следующее: cos(x) = Re(exp(ix. Тогда cos(x)+cos(2x)+..+cos(nx) = Re( exp(ix)+..+exp(inx) ) = Re( exp(ix)*( 1 - exp(inx/( 1 - exp(ix ). Дальше - тригонометрические преобразования, с ними разбираться не очень охота.
PS Бесконечный ряд действительно расходится, тк общий член не стремится к 0.

Marina32

это я знаю

disepa

Тебя интересует доказательство того, что он расходится?

Marina32

ладно. всем спасибы.
по 5- за содействие

Rumata

Честно говоря не очень понятно что требуется автору. Если он хочет получить формулу типа ядра Пуассона, то рассуждать можно следующим образом. Пусть S(x,t)=1+tcosx+t^2cos2x+... , 0<t<1. Эта сумма -- вещественная часть арифметической прогрессии \sum_{0\leq n\leq \infty}t^n*exp(inx). Это выражение легко считается: (1-tcosx)/(1-2tcosx+t^2). Далее берем предел при t-->1.

Sanych

Рискну предположить, что ряд сходится в смысле суммы обобщённых функций. И вроде то, что ты написал, показывает, что сходится к -1/2, но не поручусь.

Marina32

так ведь предел при t -> 1 равен 1/2...

Rumata

Не знаю даже как это интерпретировать...

Katty-e

Если я не ошибаюсь, предельный переход возможен только при равномерной сходимости ряда, чего нет на предлагаемом множестве.

demiurg

Ну да, можно так:
Re(a)+Re(b)=Re(a+b значит sum(cos(nx=sum(Re exp(-inx=Re(sum(exp(-inx=Re(1/(exp(ix)-1=-1/2
Ответ -1/2, только м.б. решение было не в той области....

demiurg

Ну да, все ясно. Вот это
sum(Re exp(-inx=Re(sum(exp(-inx
можно применить если только оба ряда сходятся....

Rumata

Кстати не знаю, о чем это говорит, но ряд Фурье (2pi-периодического продолжения) функции \delta(x) вроде как раз есть 1/(2\pi)+1/\pi \sum_{1\leq n\leq \infty}cos(nx). Значит, если быть уверенным, что ряд Фурье обобщенной функции к ней сходится, то \sum_{1\leq n\leq \infty}cos(nx) равно 2\pi - периодическому продолжению функции \pi*\delta(x)-1/2. Может кто-нибудь из знатоков обобщенных функций разъснил бы нам все это...

demiurg

Ну правильно. 1/(2\pi)+1/\pi*(-1/2)=0.
А при х=0 этот ряд уж точно расходится... даже на С. Вот и получается дельта-функция.
Сталбыть, можно с уверенностью заключить, что именно этого ответа и хотел автор треда.

Rumata

Ну да, равенство обобщенных функций следует из тождества:
$1/\pi \int_{-\pi}^{\pi}(1/2+\sum_{1\leq n\leq \infty}cosn(x-yf(y)dy=f(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(y)\delta(x-y)dy.$
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: