Help. Задача по функану

vlad12


какие есть критерии для этого класса функций, подскажите?
у меня только определение из википедии
Компактное пространство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

vokus

Компактным не является, поскольку не замкнуто.
Предкомпактным (замыканием получим компакт) является по теореме Арцела-Асколи.
См. http://en.wikipedia.org/wiki/Ascoli-Arzel%C3%A0_theorem

vlad12

а где замкнутость множества свызывается с компактностью?
для вещественных чисел это так, а для пространства непрерывных функций?

vokus

В хаусдорфовом пространстве любой компакт замкнут.
Возьмём компакт C в пространстве X и докажем, что он замкнут, то есть, что X\C открыто.
Для этого докажем, что любая точка [math]$p \in X \setminus C$[/math] входит в X\C со своей окрестностью.
По хаусдорфовости, для любой [math]$x\in C$[/math] существуют два непересекающихся открытых множества [math]$P_x,C_x$[/math], таких что [math]$x \in C_x, p \in P_x$[/math]. Заметим, что C_x покрывают C, из них выбирается конечное подпокрытие [math]$C_{x_1},\ldots,C_{x_k}$[/math]. Но тогда [math]$\cap_{i=1}^k P_{x_i}$[/math] открыто, содержит x и не пересекается с С, что и требовалось.
Ну да, C[0,1], естественно, хаусдорфово.

vlad12

а это множество кстати является замкнутым, дополнение же - открытое множество, каждая его точка вместе с окрестностью входит в это дополнение.

vokus

Если бы оно было замкнутым, то так как оно предкомпактно, из любой последовательности его точек можно было бы выбрать сходящуюся к элементу этого же множества подпоследовательность.
Давай, предъяви мне последовательность [math]$f_k = sin(n_k + t)$[/math], где все [math]$n_k$[/math] различны, которая равномерно сходится к [math]$sin(N + t)$[/math] для некоторого N, будет очень интересно взглянуть. :smirk:
Ты, по-моему, в определениях путаешься. Твоё множество --- это объединение счётного числа точек. Каждая точка замкнута, так как пространство хаусдорфово, но объединение счётного числа замкнутых множеств совершенно не обязано быть замкнутым.
Такие дела.

lenmas

Такие дела.
Не хватает еще подписи "Миша" :grin:

Irenas

Для N = 0:
если существует последовательность [math]$n_k$[/math] такая, что последовательность её "остатков" при делении на [math]$2\pi$[/math] сходится к нулю, то её можно и взять. Если б знать, например, что в циферках [math]$\pi$[/math] есть сколь угодно длинные последовательности нулей, то и [math]$n_k$[/math] была б.

assasin

Не нужно никаких последовательностей нулей. Такая последовательность найдётся хотя бы по теореме Дирихле; можно и непрерывными дробями воспользоваться.
Но замкнутым данное множество, конечно, не является, поскольку его замыканием является множество функций [math]$\sin(a+t)$, $a\in(-\pi;\pi]$[/math].

vokus

Такая последовательность найдётся хотя бы по теореме Дирихле
И правда. Прошу прощения, протупил :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: