Что такое обратимая замена переменных?

papkorn

как это определяется с математической точки зрения (всмысле через формулы)? буду очень благодарен за любые комментарии.

avstanchikov

Якобиан отличен от нуля.

margo11

пусь f(z) - функция, определенная на комплексной плоскости без нуля. Тогда замена z = u^2 ( u тоже из C \ {0} ) имеет ненулевой якобиан, но необратимой не является, разве нет?

bhyt000042

Ну правильно не является, раз якобиан от нуля отличен.

margo11

да, действительно, ошибка. "необратимой не является" надо заменить на "не является обратимой"

nasteniw

сто пудоф!
что такое якобиан замены координат написать?

yurimedvedev

Пусть
x1, x2, ... xn - один набор переменных (старые координаты).
y1, y2, ... yn - другой (новые координаты).
Пусть существует связь типа
F1(y1, y2, ... yn, x1, x2, ... xn ) = 0;
F2(y1, y2, ... yn, x1, x2, ... xn ) = 0;
....................................................
Fm(y1, y2, ... yn, x1, x2, ... xn ) = 0;
Тогда эта система разрешима относительно y1, y2, ... yn если не равен нулю якобиан - определитель матрицы Якоби.
Матрица Якоби выглядит как


d(F1)/d(y1) d(F1)/d(y2) ..... d(F1)/d(ym)
d(F2)/d(y1) d(F2)/d(y2) ..... d(F2)/d(ym)
............................................
d(Fm)/d(y1) d(Fm)/d(y2) ..... d(Fm)/d(ym)

yurimedvedev

Ильин В.А., Э.Г. Позняк, Основы математического анализа, часть 1, М. Наука, 1982, стр. 555.

naufragio

вроде это из комплана что-то..
вообщем вроде было так : замена обратима, если якобиан замены не нулевой, а обратная замена однозначна.
(например комплексный корень не однозначное понятие...)

margo11

Эта система разрешима локально в окрестности каждой точки, где якобиан отличен от нуля. Но не факт, что все эти полученные локально отображения можно "склеить" в одно.

nasteniw

ты прав, но это уже дебри. по-хорошему все пользуются определением глюка (респект )
в области, в которой рассматривается замена...
забей на эти тонкости. на том уровне, на котором был задан вопрос, мы всем скопом уже ответили имхо

naufragio

это не определение обратимой замены. это теорема о неявной функции

nasteniw

ну да, слажал малек. надо подкорректировать:

Пусть
x1, x2, ... xn - один набор переменных (старые координаты).
y1, y2, ... yn - другой (новые координаты).
Тогда старые коорднаты выражаются через новые:
х1=с_1_1*y1 + с_1_2*y2 + с_1_n*yn
х2=с_2_1*y1 + с_2_2*y2 + с_2_n*yn
................................
хn=с_n_1*y1 + с_n_2*y2 + с_n_n*yn
Тогда такая замена координат называется обратимой, если ее якобиан отличен от нуля.
Матрица Якоби выглядит как
с_1_1 с_1_2 ..... с_1_n
с_2_1 с_2_2 ..... с_2_n
........................
с_n_1 с_n_2 ..... с_n_n

margo11

это ЛИНЕЙНАЯ замена, что далеко от общего случая

nasteniw

ступил, сессия все ж ки. не тем голова забита
поставьте там функцию и производные

naufragio

я же написал определение... якобиан не нулевой, обратная замена однозначна.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: