Задача по общей топологии / функану

tester1

Дан метрической компакт [math]$K$[/math] с метрикой [math]$\rho$[/math]. Доказать сепарабельность пространства [math]$C(K,K)$[/math] всех непрерывных отображений [math]$K\to K$[/math] с метрикой [math]$d(f,g)=\sup\limits_{x\in K}\rho(f(xg(x$[/math].

vodnik2

Сепарабельность - это существование счетного всюду плотного? Тогда вроде этого должно хватить: непрерывное отображение на компакте равномерно непрерывно; на компакте можно строить конченые эпсилон-сети для любого эпсилон; если два отображения равномерно непрерывны, то они близки, если близки их значения на эпсилон сети. А дальше додумаешь ;)

tester1

А дальше додумаешь
дальше я не продвинулся, а сказанное тобой и сам понял
непонятно, что может стать источником счётного всюду плотного множества функций
или может надо доказывать как-то косвенно? я знаю, например, что в метрическом пространстве сепарабельность равносильна существованию счётной базы топологии

vodnik2

Для каждой пары (n,m) строишь две конченые сети - А и В - с эпсилонами 1/n и 1/m. Дальше для каждого отображения f:A->B берешь по одному непрерывному с дополнителными ограничениями отображению g:K->K компакта в себя, чтобы ограничение g на А отличалось от f в каждой точке не больше, чем на 1/m, и чтобы (возможно, что не для всех отображений f найдется такое g). Все такие g и образуют счетное плотное множество. Для заданного отображения компакта в себя приближающий элемент из построенного счетного множества выбираешь из определения равномерной непрерывности.
Наверное, можно из без аксиомы выбора обойтись :)
Upd. Уточнил ограничения на отображение g: оно должно "равномерно непррерывным", то есть быть таким, чтобы для всех x,y из K d(x,y)<1/n => d( g(x g(y) ) < 2/m. Такие непрерывные отображения не всегда есть (не для всех f но когда будешь заданное отбражение h приближать функциями из этого счетного множества и подбирать параметры из определения равномерной непрерывности, как минимум само h и будет таким отображением.

Irina_Afanaseva

Сепарабельность пространства С(K,S) всех непрерывных функций из метрического компакта K в сепарабельное метрическое S (с равномерной метрикой между функциями, распространяемой и на пространство B(K,S) всех ограниченных функций K ---> S ).
Пусть S_0 --- счётное плотное подмножество в S.
Для каждого натурального n пусть R_n --- конечное борелевское разбиение множества К диаметром элементов e_n полученное из шаров открытого покрытия радиусов (1/2)е_n (е_n стремится к нулю с ростом n, конечно).
Пусть F_n --- (cчётное!) множество всех функций K ---> S_0, постоянных на элементах разбиения R_n
и пусть F --- объединение всех F_n
Тогда из-за равномерной непрерывности счётное F плотно в С(K,S) в рамках B(K,S).

tester1

для всех отображений f найдется такое g).
почему?
борелевское разбиение
что это?

vodnik2

Я обновил сообщение - уточнил, как надо строить g

Irina_Afanaseva

разбиение
это представление множества в виде дизъюктного объединения подмножеств.
Когда эти подмножества борелевские - и разбиение называется борелевским.

tester1

конечное борелевское разбиение множества К диаметром элементов e_n полученное из шаров открытого покрытия радиусов

На какие конкретно множества разбивает это разбиение? как построить такое разбиение? Или хотя бы доказать его существование?
множество всех функций K ---> S_0, постоянных на элементах разбиения R_n
где гарантия, что в множестве таких функций будет что-то помимо констант?

tester1

Для заданного отображения компакта в себя приближающий элемент из построенного счетного множества выбираешь из определения равномерной непрерывности.
как?

vodnik2

Пусть дана непрерывная функция h и дано произвольное m. Из равномерной непрерывности для находишь такое n, чтобы d(x,y)<1/n => d( h(x h(y) )<1/m. Берешь теперь соответствующие 1/n- и 1/m -сети A и B, для каждой точки a из A находишь точку B из B ближайшую к h(B получаешь отображение A->B. Теперь берешь функцию g из счетного множества построенного для этого набора (A,B,A->B) - такая функция найдется, потому как сам h удовлетворяет требованиям, которые я наложил на g. Теперь g и h на 1/n сети отличаются не больше чем на 2/m, и сами g и h удовлетворяют условию равномерной непрерывности с (1/n,2/m а потому на всем компакте отличаются значениями не больше чем на 4/m. То есть, для произвольного h и m есть элемент из построенного выше счетного множества, которые приближает h c точностью 4/m.
в общем-то об этом же говорит, но другими словами :)

tester1

Ребята, спасибо большое, что помогаете мне. Но я по-прежнему не всё понимаю. Кто-то может изложить решение связно и подробно?
1. Построение некоторого счетного множества функций
2. Доказательство того, что все функции этого множества непрерывны
3. Доказательство того, что каждую непрерывную функцию можно равномерно приблизить функциями из этого множества.
Спасибо!

vodnik2

Эм, ну вроде мои посты содержат ответы на все 3 твоих вопроса (кроме второго, который неприменим к моей конструкции, так как я беру только непрерывные функции g, если такие найдутся; как только ты захочешь приблизить некоторую непрерывную функцию h, то она и будет удовлетворять условиям, которые я накладываю на функции g, поэтому для конкретного отображения A->B непрерывная функция есть - например сама h так что остается только позвать на помощь капитана ;)
Попробуй конкретно указать, что именно в моей конструкции непонятно/кажется неверным

Irina_Afanaseva

1.На какие конкретно множества разбивает это разбиение? 2.как построить такое разбиение? Или хотя бы доказать его существование?
1. На куски шаров, см.2:
2. Если {x_k} есть эпсилон-сеть (к=1,... то шары В_k с этими центрами и радиуса эпсилон/2
определяют разбиение пространства K множествами вида
B_k\setminus(\cup_{j<k} B_j)

> множество всех функций K ---> S_0, постоянных на элементах разбиения R_n
где гарантия, что в множестве таких функций будет что-то помимо констант?

Гарантия --- в отсутствии их непрерывности --- она в этом месте не требуется.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: