Известны вектора А и B. Как найти матрицу перехода М

mada05

Есть n-мерный вектор A, и вектор B.
Есть матрица перехода M, так что:
B=MA
Известны вектора А и B. Как найти матрицу перехода М?

asics167

У тебя n^2 неизвестных и n уравнений.
Параметрический ответ устраивает если - перемножь матрицу и вектор.

NHGKU2

Таких матриц М много очень.
Дополнительные условия на матрицу М есть быть может?

traffic_speed

обычно что- то задаешь сам, остальное- считаешь

mada05

В эту проблему я и уперся, что слишком много неизвестных. Да маловато будет известных.

zuzaka

может, тебе не нужна матрица, а нужно какое-нибудь ее свойство. Как задача формулировалась?

mada05

В принципе, можно провести n измерений.
Но тут другая загвоздка - не факт, что при повторении матрица останется той же самой.

asics167

Если тебе нужно точное решение, то только этих данных недостаточно.

zuzaka

и это очевидно: любой поворот M вокруг второго вектора даст подходящую матрицу

asics167

Ну а дальше воспользоваться какими-нибудь хитрыми статметодами? ...
Или матрица может помняться принципиально?

mada05

Точно не известно.
Есть входные данные, есть - на выходе. А вот этот черный ящик М и подлежит изучению.
Кстати, хорошая идея. Надо попробовать ограничиться свойствами матрицы.

asics167

В первую очередь попробуй узнать все, что возможно, об этой матрице.
Симметричность там, ортогональность, может быть, у нее много элементов нулевых...
На математическом языке - сократить число переменных.
Кста, доказать, что при данных условиях задача не имеет точного решения - тоже тема для курсовой-диплома отличная.

goga7152

По-видимому, раз речь идет о матрице перехода, то нужно найти все _обратимые_ матрицы с таким свойством (и векторы x, y будем считать ненулевыми). Очевидно, что из y=Ax, y=A'x => (A')^{-1}*A=B, где B -- произвольная (обратимая) матрица, оставляющая вектор x на месте. Без ограничения общности (поскольку любой ненулевой вектор можно включить в базис, а замена базиса известно как действует на операторы) можно считать, что его координаты -- столбец (1, 0, ... 0). Теперь нужно найти все обратимые матрицы, оставляющие такой вектор на месте. Очевидно, это блочные матрицы вида:
1 G
0 F,
где 0 обозначает нулевой n-1 -- столбец, G -- произвольная строка длины n-1, а F -- произвольная (n-1)х(n-1) -- матрица. Т.о. искомое множество матриц является однородным пространством (состоящим из одной орбиты) над указанной группой матриц, и чтобы найти все решения задачи теперь достаточно найти _одно_ ее частное решение.

ereyzer

Есть входные данные, есть - на выходе. А вот этот черный ящик М и подлежит изучению.
А физически чёрный ящик - это что такое? Можно ли как-нибудь провести моделирование этих процессов? Можно при моделировании подбирать свойства этого "чёрного ящика" так, чтобы при заданных входных данных он делал нужные выходные данные. В результате у тебя получится несколько матриц M, которые формально удовлетворят системе уравнений. Затем, среди этих матриц, нужно по каким-то априорным соображением выбрать ту-единственную, которую и считать искомой.
Здесь самая большая трудность состоит в том, что выходные и, скорее всего, входные данные вы знаете с ограниченной точностью. Маленькие статистические флуктуации выходных данных будут приводить к совершенно разным ядрам системы уравнений. Поэтому нужно будет делать регуляризацию решения с помощью каких-то априорных соображений по поводу матрицы. Существует несколько способов точного решения этой задачи (вот, , про один из них говорит но для решения физической проблемы они неприменимы именно из-за статистической неточности исходных данных.
В любом случае из-за того, что задача является плохо обусловленной и некорректно поставленной, не удастся найти единственно правильное решение, но в каком-то приближении остановиться можно.

vovatroff

Если у векторов все компоненты ненулевые, то можно взять просто
диагональную матрицу перехода как частное решение. Если есть нули,
стоит подумать над жордановыми клеточками в окрестности соответствующих
мест главной диагонали.

ereyzer

да, правильно. только автору лучше уточнить, это физическая или математическая задача. ведь так можно получить строгое и математически точное решение, которое не будет иметь никакого физического смысла.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: