Как доказать неравномерную сходимость ряда

shpanenoc

Хоть убей, не помню, в чем там трюк.
[math]  $$  \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{sin(nx)}{n}, \quad 0 \le x \le 2\pi  $$  [/math]
Ряд сходится, но не равномерно. Как доказать неравномерность?

roza200611

я тож ниуя не помню...
ограниченность суммы синусов + стремление к нулю последовательности обратных целых чисел

Suebaby

сгруппируем слагаемые по k штук.
[math]$$\sum_{i=1}^\infty|\frac{\sin nx}{n}|\ge  \sum_{i=1}^\infty(|\frac{\sin(kn-k+1)x}{kn-k+1}|+\dots+|\frac{\sin (kn-1)x}{kn-1}|+|\frac{\sin knx}{kn}|)\ge  \sum_{i=1}^\infty\frac{|\sin(kn-k+1)x|+\dots+|\sin (kn-1)x|+|\sin knx|}{kn}\ge  $$[/math]
если k достаточно большое, то среди аргументов синусов найдётся тот, который лежит между 2*Pi*m+Pi/3 и 2*Pi*m+3*Pi/4. Для x из интервала (0, Pi/2) это очевидно, а для других сводится к этим. Значение синуса будет не меньше 1/sqrt(2). Дальше применяем расходимость гарм. ряда

Xephon

Это рассуждение должно было бы доказать, что ряд не сходится абсолютно.
Рассуждение не совсем полно, т.к. при x, кратных Pi эффекта плотной обмотки нет.
Впрочем, конечно, его можно просто довести (кроме случаев x=0,\Pi,2\Pi).
Вопрос был о равномерной сходимости по параметру x.

Suebaby

тьфу, точно, ошибся
пусть x=Pi/4k.
тогда сумма от n=k до n=3k обладает следующими свойствами:
- числитель больше 1/sqrt(2)
- знаменатель положителен и меньше 3k
- слагаемых 2k штук
поэтому вся сумма больше 1/10.
дальше критерий Коши

Xephon

Зачёт :p

shpanenoc

Спасибо.
А неабсолютная сходимость доказывается проще:
[math]  $$  \left|\frac{\sin nx}{n}\right| \ge \frac{\sin^2nx}{n} = \frac{1-\cos 2nx}{2n}  $$  [/math]
Из двух рядов
[math]  $$  -\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos 2nx}{2n}  $$  [/math]
и
[math]  $$  \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}  $$  [/math]
один сходится, другой нет. Следовательно, сумма рядов расходится, а значит, и исходный ряд.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: