Задача по алгебре

helen2442

Доказать, что свободная алгебра A = k<x,y> является примитивной (справа).
Примитивная справа значит, что существует точный (правый аннулятор = 0) неприводимый (нет нетривиальных подмодулей) правый A-модуль.

Irina_Afanaseva

A = k<x,y> --- полиномы?

helen2442

Под k<x,y> подразумевается алгебра некоммутативных полиномов от переменных x и y. Поле k --- любое.

roman1606

докажи, что она вкладывается в тело, вот и все дела

helen2442

Так, а почему этого достаточно?

roman1606

да, тут я погорячился
но, похоже, придумал решение.
надо взять:
1. беск.мерное вект.пр-во V над k <e_1,e_2,...>
2. в алгебре лин.операторов E=End_k(V) рассмотреть подалгебру A, порожд. операторами f:e_i |-> e_i-1 (f(e_1)=0)и g:e_i |-> e_i*i+1.
показать, что у неё нет собств. инв. подпр-в, и что она плотна в E - тогда она примитивна.
3. показать, что отправляя x в f, а y в g, мы получим изоморфизм k<x,y> на A. Т.е., тут надо показать, что нет соотношений между f и g.
подробности писать лень, конечно
кстати, кому и что сдаём?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: