Задачи по геометрии с подвохом

Logon

Преподавая геодезию, столкнулся с тем, что студенты не то чтобы плохо, а откровенно хреново знают/понимают геометрию Вчера долгое время пытались найти площадь треугольника со сторонам 1,1 и 3, и недоумевали, почему у них ответы неверные
Хотелось бы найти несколько задач с подвохами, чтобы мозги включались, а не выполнялись расчеты тупо, без ума. Как пример такой задачи - когда задают, к примеру, углы треугольника, а надо найти соотношения стороны-или еще что - а сумма углов при этом более 180, то есть условие изначально некорректно.
Буду признателен, если подскажите примеры таких задач, ну или ссылочек дадите, где посмотреть можно

seregaohota

У Арнольда был пример задачи с "американского ЕГЭ", который американцы решают запросто, а русские, туда приехавшие, тормозят и почему - гипотенуза прямоугольного треугольника 10, высота, на неё опущенная, 6. Найти площадь.
Только замечание: что задачи с подвохом могут быть на зачёте-экзамене и проверяйте корректность условий - оговаривается в начале семестра. Все требования и подводные камни студентам должны быть известны заранее, иначе это неэтично со стороны препода, если это вообще не непрофессионализм или не коррупция.

KpyTou_yokep

я конечно в пту не училась и не вела ничего, но в моем лицее (с)
нас на геометрии еще классе в 7м подкалывали по поводу треугольников нереальных,
ихмо на всю жизнь в голове останется что сумма 3ей стороны всегда меньше суммы 1 и 2ой,
углы в 3ке в сумме дают 180 град.
Ну и про катеты, гипотенузы.
Так что да, нужно их настроить на задачи с подвохом.
Как- не знаю

Mausoleum

Задачка для дошкольников (придумал, когда вел кружок) - на какие фрагменты ненулевой площади можно разрезать плоский четырехугольник одним прямым разрезом.
Очевидные решения - два треугольника, треугольник и четырехугольник, треугольник и пятиугольник, два четырехугольника - обычно придумывают сразу, но факт того, что этим решения не исчерпываются, обычно ставит взрослых в тупик.

Vlad128

типа еще можно два треугольника и шестиугольник и 3 треугольника, прикольная.

marina1206

То есть выпуклость исходного четырехугольника не подразумевается? В этом фишка что ли?
Вспомнил три интересные задачи:
1. Любыми ли правильными n-угольниками можно полностью (без не покрытых частей) замостить бесконечную плоскость? Если не любыми, то какими? Ответ доказать.
2. Закрасить бесконечную плоскость тремя разными цветами так, чтобы любая прямая, проведенная в этой плоскости, проходила через ровно два разных цвета.
3. Считая Землю сферической, найти зависимость дальности горизонта от высоты над уровнем моря.
Первая очень даже вычислительная. Вторая больше на воображение, но некоторые геометрические соображения помогают направить воображение в нужную сторону.

Nefertyty

типа еще можно два треугольника и шестиугольник и 3 треугольника, прикольная.
но можно ли это назвать "одним разрезом"?

Vlad128

ну типа ножом для фотографий :)

Logon

что задачи с подвохом могут быть на зачёте-экзамене и проверяйте корректность условий - оговаривается в начале семестра. Все требования и подводные камни студентам должны быть известны заранее, иначе это неэтично со стороны препода, если это вообще не непрофессионализм или не коррупция
не-не, не идет речь о том, чтобы кого-то в лужу посадить - речь о том, чтобы заставить мозги хотя бы у некоторой части шевелиться. Сейчас я смотрю, их тупо приучают "учиться" по шаблону и любое отклонение влево-вправо их просто тупо сбивает с толку, при этом среди них есть ребята, соображающие, вот такие задачки более для них.
С треугольником хорошая задача

blackout

Решение 2:

Mausoleum

и 3.

А одним разрезом вполне можно считать разрез, дающий три треугольника.

Sergey79

1. Любыми ли правильными n-угольниками можно полностью (без не покрытых частей) замостить бесконечную плоскость? Если не любыми, то какими? Ответ доказать.
число 4/(n-2) целое только для n=3,4,6

Mausoleum

число 4/(n-2) целое только для n=3,4,6
Безотносительно задачи - это утверждение неверно. Контрпример: n=1, тогда 4/(n-2) тоже целое.

griz_a

Браво. Какое тонкое и содержательное замечание, просто супер!
Смотри, он еще забыл сказать, что n целое, так что 2+1/360 тоже подходит, давай еще чего-нибудь придумаем безотносительно задачи?

Sergey79

Безотносительно задачи - это утверждение неверно
Ну да. Поэтому я именно и заквотил задачу, а не написал в пустоту=)
Но как формалисту - мне нравится твой пост. Я должен был быть точнее в формулировке.

olga-sklyarova

Может ли это быть ортогональной проекцией на плоскость прямоугольного параллелепипеда?

arxidemon

У нас на кружке всем показывали вот такие вот рассуждения. Задача: найти ошибку в рассуждениях.
(в интернете не нагуглил, решил сам нарисовать)

lebuhoff

Преподавая геодезию, столкнулся с тем, что студенты не то чтобы плохо, а откровенно хреново знают/понимают геометрию Вчера долгое время пытались найти площадь треугольника со сторонам 1,1 и 3, и недоумевали, почему у них ответы неверные
Мне похожий вопрос на собеседовании в норвежскую компанию лет 6 тому назад задали.
Я, как истинный физик-теоретик, решил эту задачу в общем виде (формулу Герона я уже не помнил обозначив стороны a, b, c и получил ответ типа 18i (т.е. комплексное число) :grin:
Самое забавное, что аналитический общий ответ верный - просто задача изначально была "некорректно поставленной", т.е. надо было анализировать входные данные.
Как мне потом объяснили - мол, это коммерческая фирма, занимающаяся прикладной наукой, а не академический универ. И им не нужен общий анализ.
Т.е. тут проблема больше в ином подходе.
Это как на практике число pi можно и до 3-х или даже 5-ти округлить, хотя математики от этого не в восторге.

Logon

Самое забавное, что аналитический общий ответ верный
с решениями подходило несколько студентов и они очень возмущались, что я не показываю им ошибку Один решил задачу через полупериметр (есть формула, когда три стороны знаешь и через них считаешь второй через он-лайн калькулятор в интернете, подозреваю, там та же формула - вбил три стороны, получил ответ. Их возмущало, что у них решение одинаковое, а я говорю, что ошибка.
Вообще это конечно смешно, но их в стопор ввело простое действо - брали несколько разных рулеток и измеряли коридор в длину, полученные значения были в от 47 до 69 метров :grin:
И даже если откинуть 4 самых выдающихся значений (47, 49, 58 и 69) все равно получался диапазон от 50 до 52. Причем забавно было их в тупика ставить, когда в качестве варианта ошибки называли "рулетки" разные - одной и той же рулеткой предлагал измерить, все равно разные числа получались :grin:

Damrad

хороший подвох :grin:

Печалька, но в доме не оказалось ни бумаги, ни линейки. Чудом нашлась ручка. Пока хороший чертеж не построишь ничего не понятно. Пришлось извращаться с двумя кусками картона, батарейкой от гоупро в качестве прямого угла и сгибанием листа пополам чтобы найти середину отрезка, также край листа послужил в качестве циркуля

seregaohota

 
Докажем что все (вообще все) углы равны 90 градусов
В тему про геодезию :) На поверхности Земли построен равносторонний треугольник, один из углов 90 градусов. Найти площадь.

Sergey79



жесть

tester1

В тему про геодезию На поверхности Земли построен равносторонний треугольник, один из углов 90 градусов. Найти площадь.
1/8 от площади сферы?

seregaohota

правильно, и как и обещано - все три угла треугольника 90 градусов. Даже двуугольники есть, так как все параллельные прямые пересекаются.
положительная кривизна пространства - она такая, все треугольники толстенькие, а у Лобачевского на седле все худые и недокормленные и сумма углов меньше 180 градусов.
Вторая задачка сферической геометрии: как с площадью треугольника связан
эксцесс = сумма углов треугольника - 180 градусов
Указание. Негде рисовать, но по-моему надо

Рассмотреть разбиение сферы на двуугольники продолжением сторон треугольника. Площади двуугольников легко находятся. На площади треугольников составляется система уравнений.
Как-то так

griz_a

Вы случаем не путаете слова "дефект" и "эксцесс"? :ooo:
upd: Пардон, судя по всему эксцесс = -дефект. Навводили тут терминов :(

a100243

гипотенуза прямоугольного треугольника 10, высота, на неё опущенная, 6. Найти площадь.
И каков правильный ответ с точки зрения американской системы образования?

Vlad128

для тех, кто не нарисовал/не представил :)

seregaohota

очевидно с точки зрения составителей теста ch/2 = 30
просто они забыли :) , что такого треугольника не существует. Ну например, высота, опущенная на гипотенузу, не может быть больше радиуса описанной около прямоугольного треугольника окружности, центр описанной окружности как известно находится посередине гипотенузы и радиус равен половине длины гипотенузы, 5 в данном случае

Впрочем, и в американский школьный тест десятилетиями входила задача: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов и опущенной на нее высотой, длиной 6 дюймов. Да минет нас чаша сия.

Кажется сам Арнольд говорил, что никак не мог написать обычный американский тест на отлично, а его знакомые американские математики писали. Когда он спросил одного, как он это делает, тот засмеялся и сказал, что он представляет (строит модель составителя можно сказать) степень идиотизма составителя теста. После этого, говорит Арнольд, я тоже научился писать эти тесты.

a100243

Да уж, презрение к истине американцам прививают со школьной скамьи. Хороший сюжет для пофигиста. "Честный человек не может сдать экзамен в американский ВУЗ"

seregaohota

Отвечать надо быстро, не раздумывая и не тратя понапрасну время.
А главное - не мошенничать!
1. Вы участвуете в соревнованиях и обогнали бегуна, занимающего вторую
позицию. Какую позицию вы теперь занимаете?
Ответ: Если вы ответили, что вы теперь первый - то вы абсолютно не
правы.
Вы обогнали второго бегуна и заняли его место, так что вы теперь на
второй позиции.
Попробуйте не ошибиться во втором вопросе.
2. Вы обогнали последнего бегуна, на какой позиции вы теперь находитесь?
Ответ: Если вы ответили на предпоследнем - вы опять абсолютно не правы.
Подумайте. Как можно обогнать бегуна, идущего последним? Если вы бежите
за ним, значит он не последний. Ответ - это невозможно. Получается, что
использование мозга ваша не самая сильная сторона.
Как бы то ни было - вот еще один вопрос. Ничего не пишите и не
используйте калькулятор, и помните - вы должны отвечать быстро.
Возьмите 1000. Прибавьте 40. Прибавьте еще тысячу. Прибавьте 30.
Еще 1000.
Плюс 20. Плюс 1000. И плюс 10. Что получилось?
Ответ 5000? Опять неверно. Правильный ответ 4100. Попробуйте пересчитать
на калькуляторе.
Сегодня точно не ваш день. Но, может быть, получится с последним вопросом.
У отца Мэри есть пять дочерей: 1. Чача 2. Чече 3. Чичи 4 Чочо.
Вопрос: Как зовут пятую дочь? Думайте быстро. Ответ чуть ниже.
Ответ: Чучу? НЕТ! Конечно, ее зовут Мэри. Прочтите еще раз вопрос.
ВЫВОД: Вы самое слабое звено - прощайте.

tester1

2. Вы обогнали последнего бегуна, на какой позиции вы теперь находитесь?
Не на последней, больше ничего сказать нельзя.
Если последнего можно обогнать, значит, гонка идёт на замкнутой дистанции (по кругу стадиона, например). В этом случае последнего (самого медленного) бегуна могут обогнать (на один и более кругов) все его соперники - от первого до предпоследнего.

shpanenoc

Ну да, еще можно придраться к "отцу Мэри". Может быть, Мэри - это мужчина? А может, это сам отец: отец Онуфрий, отец Мэри.

Vlad128

да блин, обсуждали уже. И второго тоже можно на круг обогнать, подумай об этом.

tester1

И второго тоже можно на круг обогнать, подумай об этом.
более того, последний бегун может обогнать первого, оставаясь при этом последним

орпьтр

оьроьроа
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: