Задача про меру Леви

korpa

Lokomotiv59

Если мера непрерывная (если A_n --> A // вложенные множества, то m(A_n)->m(A то следует.
Введем функцию:
f(e) = m([-e,e]). Тогда f(e) --> f(0) при e-->0.
Далее, возьмем e такое, чтоб |f(x)|<d для x \in [-e,e]
Тогда интеграл вроде оценивается константой 2d.

korpa

Мера не обязательно непрерывная.

Lokomotiv59

Тут мне подсказывают, что мера Лебега обязательно непрерывна. А тут что за интеграл имеется ввиду тогда ?

griz_a

Непрерывность меры следует из ее сигма-аддитивности. Думаю, вы просто не поняли друг друга, поскольку иногда под непрерывностью понимают отстуствие атомов

soldatiki

Простите великодушно, но причем тут фамилия Леви?

plugotarenko

меры Леви возникают из разложения Леви-Хинчина (привет вероятностникам ).
основных условий на эту меру два:
1. \nu\{0\}=0;
2. \int_R (\min(x^2,1\nu(dx)<\infty
Собственно почти то, что в задаче.
Основная проблема в том, что мера может принимать бесконечные значения, и
возможна ситуация, когда \nu([e,e])=\infty для любого e>0.

korpa

да называйте как хотите, только на вопрос ответьте

Lokomotiv59

Чем не нравится ответ, который я указал ? Что за мера ? Что за интеграл имеются ввиду ?
(желательно с определением, если какие-то не классические, а то мы тут не в курсе судя по всему)
Для меры Лебега и интеграла Лебега все верно вроде. Если имеется ввиду что-то другое, то наверное стоит это пояснить в условии задачи.

korpa

это интеграл Лебега по мере \nu, удоволетвовряющей условию см. выше

Lokomotiv59

Тогда см. мой первый пост. Мера Лебега - непрерывна, откуда все следует.

plugotarenko

я вроде уже писал, но не с акцентировал внимание, наверно.
Твое решение не пройдет, потому что мера сигма конечна и возможна особенность в 0.
А именно, возможна ситуация, что мера любого интервала содержащего 0 равна бесконечности.

Lokomotiv59

Как тогда определяется интеграл Лебега по ней? Классическое определение интеграла Лебега не пройдет, просто не будет существовать предела
\int f_n
для "простых" функций f_n.

plugotarenko

Он определяется так же, как и для любой сигма-конечной меры.
То есть через разбиение на множества конечной меры. На множестве конечной меры уже можно использовать простые функции и определить классическим образом. А потом просто просуммировать по всем множествам. Никаких принципиальных отличий от определения интеграла по классической мере Лебега по всей прямой (не по отрезку).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: