Задачка по тч

sfr28

Как доказать, что sqrt(20) является целым 11-адическим числом? Помогите плиз, туплю сильно.

seregaohota

Как доказать, что sqrt(20) является целым 11-адическим числом?
Извлечение sqrt(20) в Q_{11}
Если sqrt(20) целое 11-адическое число, то оно представляется числом с бесконечным числом 11-ричных цифр до десятичной точки (на самом деле до 11-ричной точки и ни одной цифры после точки)
 
sqrt(20) = ... d_2 d_1 d_0

Т.е.

sqrt(20) = d_0 + d_1*11 + d_2*11^2 + ...

0 <= d_i < 11 целое

Возводя в квадрат получим бесконечную цепочку уравнений

d_0^2 = 20 (mod 11)
(d_0 + d_1*11)^2 = 20 (mod 11^2)
(d_0 + d_1*11 + d_2*11^2)^2 = 20 (mod 11^3)
...
0 <= d_i < 11 целое

или

d_0^2 = 20 (mod 11)
d_0^2 + 2*11*d_0*d_1 = 20 (mod 11^2)
(d_0 + d_1*11)^2 + 2*11*d_0*d_2 = 20 (mod 11^3)
...
0 <= d_i < 11 целое

По идее два решения

3+2*11+1*11^2+1*11^3+10*11^4+3*11^5+...

и

8+8*11+9*11^2+9*11^3+0*11^4+7*11^5+...

Тебе нужно последнее, т.к. этот результат выдают компьютерные мат.системы.
PS
1. Помнится это было у Кириллова в задачнике по функану.
2. Я так понимаю чем больше цифра, тем больше ей можно пренебречь, т.к. p-адическая норма p^n равна p^{-n}, т.е. что-то обратное школьной десятичной записи обычных действительных чисел, только чем старше цифра - тем она менее значима в p-адической норме.
3. Q_p пополнение Q по этой норме. После точки у них конечное число знаков, перед - бесконечное (но могут быть нули с некоторого места).
4. рациональные числа из Q представляются вроде в Q_p p-периодическими дробями, только цифры не после десятичной точки повторяются, а до. Добавляются все непериодические числа в Q_p как пить дать, т.е. аналогия с "школьным" пополнением Q до R, только бесконечное число цифр до десятичной точки. Шиворот навыворот вобщем.
5. Я не спец.

Xephon

Тебе нужно последнее, т.к. этот результат выдают компьютерные мат.системы.
Аргументация не очень понятная Второй корень = -(первый корень а почему мат.системы выдают именно первый — х. его з.

seregaohota

Да, я тоже понял что тормознул и ему оба надо, т.к. у корня квадратного, если он из данного числа существует, очевидно 2 значения (только в нуле склеивается в одно как обычно). Да уж поздно и лень писать было.
Сумма тех приближений, что я вычислил 11^6, т.е. сходимость именно к тому, что ты написал. Сложение и вообще все арифм. операции продолжаются на Q_p по непрерывности (ну и возведение в квадрат и всякие разные функции). Так что IMHO всё в ажуре если строго докажешь, что у этой бесконечной системы решение единственное если стартовать с нулевой цифры d_0=8 например.

seregaohota

А в ответ no mercy

sfr28

Спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: