[Задачи] Основы матана, понятие эквивалентности множеств

alfa114

Напомните, плз, как строятся взаимно-однозначные отображения для таких пар множеств:
1. Единичный куб и единичный отрезок (оба замкнутые в R3).
2. Круг (замкнутый в R2) и внутренность квадрата.

griz_a

Единичный куб и единичный отрезок -
Точке единичного куба 0,a1a2a3..; 0,b1b2b3...;0,c1c2c3.. сопоставляешь точку единичного отрезка с координатами 0,a1b1c1a2b2c2..и наоборот за исключением точек, где все ai, bi или ci начиная с некоторого 0 (т.е. дробь конечная). Такие точки переводим в оставшиеся точки отрезка так как два счетных множества равномощны. Вроде так

z731a

точка (0900 0090 0009 сопоставляется точке 09) - это точка = 10 которая сопоставляется точке куба с "финитными" координатами?

alfa114

Спасибо за единичный куб. Мельком увидев приведенное решение, сам его вспомнил, потому что раньше решал
А есть у кого-нибудь мысли по поводу круга? ИМХО, эта задача хитрее, чем с кубом. Я ее раньше не встречал.

griz_a

точка (0900 0090 0009 сопоставляется точке 09) - это точка = 10 которая сопоставляется точке куба с "финитными" координатами?

Чего-то не понял. Нет, сопоставляется 0900090009 если не ошибаюсь

z731a

ну да, я жгу седня

z731a



А есть у кого-нибудь мысли по поводу круга?
незамкнутый круг без отрезка [0,1] по х с помощью полярных координат в незамкнутый квадрат, а этот отрезок с окружностью в половину какого-нибудь внутреннего отрезка квадрата (который сам переводится в другую свою половину)

griz_a

Давай построим отображение круга вот какое -
phi - [0,2pi)
(r, phi) в полярной переводится в (r,phi) в декартовой =)
Оно определено взаимно однозначно везде, кроме 0 и переводит круг без нуля в прямоугольник (0,1] * [0,2pi)
Ничего не потерял?
Итого остается перевести полузамкнутый прямоугольник и точку взаимнооднозначно в внутренность квадрата
Это сможешь?

alfa114

Про полярные координаты-то все очевидно.
Я не мог додуматься, куда девать образ границы после замены координат.
Ключевую идею подсказад : отрезок можно вырывать из внутренности как угодно, так как непрерывности не требуется (и не может требоваться).
По ходу, я сам не мог додуматься потому, что парадигма непрерывности мешала.
Спасибо всем.

griz_a

а, я думал задачу про бесконечную гостиницу все решали =)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: