Задача на пространственное воображение

Staylens

Есть точечный источник радиации. Есть возможность делать свинцовые шары любого диаметра и произвольно размещать их в пространстве так, чтобы источник радиации не принадлежал геометрическому месту точек шаров, и при этом, шары не пересекались друг с другом. Сколько минимально шаров потребуется, чтобы защитить от радиации внешнее пространство? То есть, чтобы ни один радиоактивный луч не мог достичь сферы с неограниченно большим радиусом с центром в источнике радиации. Мне, как нематематику, интересно, можно ли доказать минимальность.

tester1

Можно рассмотреть аналогичную задачу при размерности пространства 1, 2, 4, 5, n, \mathbb{N}.

tester1

Есть возможность делать свинцовые шары любого диаметра
Количество шаров конечно, да?
чтобы источник радиации не принадлежал геометрическому месту точек шаров
т.е. чтобы не лежал на границе или внутри ни одного из шаров, да? т.е. чтобы расстояние от источника до ближайшего шара было положительным?

Staylens

Я не математик, но если существует минимальное и при этом бесконечное количество, то - да , конечно.
Да, чтобы не лежал на границе или внутри. И, если надо то - да, положительным (хотя, расстояние это вроде скаляр? и если существует мнимое расстояние, то не мнимым.

Staylens

Если начинать с размерностей один и два, то интуитивно находится ответ при размерности три, но задача - еще и описать модель расположения.

Sergey79

наверно 2N? Вот если задача - минимизировать количество затраченного свинца...

Staylens

Точно не 2N.

Sergey79

ну я не знаю как меньше то при N=1
Ну хорошо, пусть N+1<=X<=2N

navstar

Легко доказать, что удаление условия непересечения шаров не влияет на ответ. Если это учесть, то очень похоже, что ответ N+1 для пространства размерности N.

Vlad128

Если начинать с размерностей один и два, то интуитивно находится ответ при размерности три, но задача - еще и описать модель расположения.
ну модель ясна: берем правильный тетрдаэдр, источник помещаем в его центр. В вершинах ставим шары с радиусом пости как радиус описанной сферы тетраэдра. Начинаем раздувать. Рано или поздно условие задачи выполнится (не доказано но шары будут пересекаться. Потом берем и делаем над каждым из шаров в отдельности по гомотетии (раздуваем его от центра тетраэдра чтобы он перестал пересекаться с остальными. Получаем решение.

Staylens

Ну, модель похожа, только для наглядности и доказанности достаточности, вокруг треугольных граней тетраэдра описываем окружности через них и центр проводим конические поверхности и списываем шары в эти конические поверхности. Как доказать минимальность?

iri3955

Можно доказать, что нужно не меньше 4 шаров. Можно считать, что каждый шар высекает половинку сферы без границы (как телесный угол из источника). Для двух полусфер точки пересечения их границ диаметрально противоположны и не покрываются ими, поэтому нужно минимум еще 2 полусферы. Пример, расположить в лучах соответствующих вершинам тетраэдра так, чтобы каждый шар покрывал соответствующую грань двойственного тетраэдра.
В N-мерном соответственно берём симплекс, а доказательство - берём одну сферу, остальные должны закрыть диметр - по инукции по размерности

tester1

А в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве как делать?

Mausoleum

Точечность источника, кстати, непринципиальна, достаточно конечности диаметра.

Arthur8

чтобы закрыть точку нужно 4 шара
чтобы закрыть треугольник нужно 4 шара, чтобы закрыть тетраэдр нужно 8 шаров
чтобы закрыть квадрат нужно 5 сфер, чтобы закрыть куб, нужно закрыть 6 квадратов. т.е. 14 сфер нужно для закрытия куба в центре которого стоит источник излучения
чтобы закрыть шестигранник надо 18 шаров
пока не придумывается аналитика. объемное тело с 5 сторонами в голове не представляется :crazy:

Staylens

я знаю.

Mausoleum

объемное тело с 5 сторонами в голове не представляется
Попробуй представить треугольную призму или пирамиду с четырехугольным основанием.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: