Фокальное свойство

lenmas

Вот есть известное фокальное свойство параболы, что параллельный пучок она собирается в фокусе.
А вот есть ли такая кривая, которая после двух отражений собирает лучи в одной точке? :)

vodnik2

"Локально" нахаляву - дорисуй к дуге параболы отрезок - тогда узкий пучок, после отражения в первый раз от отрезка внутрь дуги параболы (так, чтобы он стал параллелен оси параболы после отражения) при втором отражении соберется в фокус.

lenmas

Не, это понятно, интересуют поверхности вращения и пучок должен быть параллелен оси вращения :)

tester1

Попробуй написать соответствующий диффур, может быть Мапл его решит.

vodnik2

Вроде как, если такая поверхность есть, то на оси вращения у нее должна быть особенность ("острие" или же вообще уход на бесконечность).
От противного. Если в точке с осью вращения поверхность перпендикулярна оси, то в окрестности луча идущего по самой оси "двойной" фокусировки не добиться: лучи, идущие достаточно близко к оси будут отражаться почти вертикально (давай считать, что ось вращения вертикальна, и луч "светит" вниз и потому будут иметь вторую точку отражения выше дабл-фокуса, если бы он существовал, и после второго отражения лучу ниже фокуса опуститься не получится.

fabio

так ?

Mausoleum

Посмотри на задачу с другой стороны. Тебе нужна конструкция, которая при наличии источника в фокусе выдаст параллельный пучок после двух отражений. Ход лучей же обратим.
Можно, например, устроить такой трюк: полуэллипс, в одном фокусе источник света, а другой совпадает с фокусом параболы. Понятно, размер входящего пучка должен быть ограничен, ну да неважно ж.

FieryRush

А вот есть ли такая кривая, которая после двух отражений собирает лучи в одной точке? :)
Лупа, бля.

demiurg

Это после двух преломлений

natunchik

При этом только часть лучей пойдёт куда нужно...
Впрочем, понятно, что вряд ли можно придумать что-нибудь лучше такого читерства (топикстартер же наверное представлял какую-нибудь хитрую параболаподобную шняжку, но с двумя отражениями): как бы ты не извивался, на зеркале будет точка, которая отразит луч из источника обратно (и её окрестность будет отражать его куда-нибудь в приблизительно том же направлении). В случае параболы это ок, потому что источник точечный и так всё и задумано. Но это одно отражение.

seregaohota

если не плоская задача, то после 3 отражений от 3 взаимно перпендикулярных зеркал параллельный пучок отражается в обратном направлении параллельно первоначальному, используется в уголковых отражателях, катафотах (транспорт, дорожное строительство...)
есть retroreflectors типа cat's eye, но там линзы с показателем преломления не как у воздуха кроме зеркала
покопайся, может найдёшь нужную тебе оптическую систему. Астрономов спроси

vodnik2

Я не совсем понял, ты хочешь проиллюстрировать мое рассуждение или же приводишь контрпример, который показывает неверность рассуждения? :)
Мне кажется, что первое.
Как раз для этой картинки "дабл-фокуса" и не будет. Допустим, что он есть, и находится на некоторой высоте h. Тогда лучи, очень близкие к середине, отразятся в первый раз от почти горизонтальной площадки в центре почти вертикально, а потому достигнут вертикальной стенки во второй раз очень высоко, гораздо выше h; после второго отражения они пойдут дальше вверх и в "дабл-фокус" на высоте h не попадут.

vodnik2

А вообще, интересна мотивация вопроса? Для чего это нужно и какие ограничения на поверхность (поверхность вращения, "глобальность" пучка, для которого есть двойная фокусировка, гладкость поверхности и т.д.) предполагаются
Помнится, кто-то (сходу не помню, кто) на семинаре по динамической системам (п/р Аносова, Степина и Григорчука) в конце прошлого тысячелетия занимался задачей обтекания тел (которая для гладких поверхностей вращения была решена еще кем-то из классиков, вроде Эйлера - у классика тоже что-то вроде "гиперболоида с острием" получалось). Многократные отражения тут вот причем - этот самый товарищ рассматривал обтекания газа с точки зрения нескольких соударений (а классика предполагалось, что удра молекулы об поверхность один) молекулы газа с поверхностью; строил хитреы системы "фитюлек" (какие-то трубочки в обвод поверхности ко которым частица при вертикальной атаке поверхности как-то хитро и многократно отражалась. И за счет этого можно было получить сопротивление гораздо меньше, чем в классичесом случае (чуть ли не сколь угодно малое); правда, практическая польза была не очень ясно, поскольку этот же самый товарищ оценивал давление (или еще что-то которое в этих трубочах возникает, и получал какие-то астрономические цифры, то есть реальная физическая модель расплавилась бы сразу.
Сорри за сумбур, так как дело давнее, тогда я был младшекурсником и на том спецсеминаре понимал чуть меньше, чем ничего :) Если эта тема вдруг интресует, могу потом покопаться в архивах рассылки семинара и выяснить, кто именно этим занимался и какие материалы есть на эту темы.

fabio

да прав надо отрезать середину

lena1978

пускай. выпилим эту окресность. и из пучка подпучок.

lenmas

Попробуй написать соответствующий диффур, может быть Мапл его решит.
Это будет не обычный диффур, там надо будет брать прообраз точки при какой-то сложной функции, связанной
с неизвестной функцией. Просто думал, что ответ известен.

lenmas

Вроде как, если такая поверхность есть, то на оси вращения у нее должна быть особенность ("острие" или же вообще уход на бесконечность).
От противного. Если в точке с осью вращения поверхность перпендикулярна оси, то в окрестности луча идущего по самой оси "двойной" фокусировки не добиться: лучи, идущие достаточно близко к оси будут отражаться почти вертикально (давай считать, что ось вращения вертикальна, и луч "светит" вниз и потому будут иметь вторую точку отражения выше дабл-фокуса, если бы он существовал, и после второго отражения лучу ниже фокуса опуститься не получится.
Да, ты наверное прав. Тогда поверхность вращения будет иметь особенность, ничего страшного. Главное, найти бы
хотя бы одну такую поверхность.

lenmas

Посмотри на задачу с другой стороны. Тебе нужна конструкция, которая при наличии источника в фокусе выдаст параллельный пучок после двух отражений. Ход лучей же обратим.
Можно, например, устроить такой трюк: полуэллипс, в одном фокусе источник света, а другой совпадает с фокусом параболы. Понятно, размер входящего пучка должен быть ограничен, ну да неважно ж.
Ага, отличная идея!
Как я понял, взять часть эллипса с фокусом в левом фокусе и пристроить параболу, софокусную со вторым фокусом
эллипса, чтобы она пересекалась с эллипсом в точках над и под вторым фокусом. Тогда лучи, исходящие из левого фокуса, отражаясь от боков эллипса проходят через правый фокус и после отражения от параболы уходят параллельным
пучком влево. Можно наверное сделать даже, чтобы потери такого прожектора были приемлемо малыми, если эллипс сделать достаточно длинным.

lenmas

если не плоская задача, то после 3 отражений от 3 взаимно перпендикулярных зеркал параллельный пучок отражается в обратном направлении параллельно первоначальному, используется в уголковых отражателях, катафотах (транспорт, дорожное строительство...)
Да тут и плоская задача в принципе такой же сложности.
Про катафоты согласен, но идея найти такой объект, который параллельный пучок отражал бы не таким же параллельным пучком (то-есть с фокусом опять в бесконечно удаленной точке а собирался бы отраженные
лучи в конечной точке (мы же не можем поставить исходный источник света в бесконечности). Не важно сколько отражений и сколькомерная задача, это я хотел даже спросить в заглавном вопросе, но
подумал, что только запутает дело (если начать спрашивать про три отражения и больше, про некомпланарность процесса и т/д).

lenmas

А вообще, интересна мотивация вопроса?
Мотивация до простоты дебильная. Просто набирал шефу методическую статью, где он из однородного диффура
находит, что только параболы удовлетворяют форме прожектора, и в голову пришла мысль, а почему ограничивают
себя только параболами?

lenmas

так ?
Кстати, тоже очень хорошая идея, только тут эллипс и параболу можно поменять местами:
вместо окружности взять гиперболу и к ней присобачить не параллельные отрезки прямых,
а отрезки параболы, софокусной с фокусом этой ветви гиперболы. Тогда поставив источник света во второй
фокус (он за второй ветвью гиперболы где-то лучи будут отражаться от гиперболы, расходясь, как от центра,
от фокуса этой ветви гиперболы и попадать на параболу, а от нее уже отражаться параллельным пучком.
Правда, это относится только к части лучей попадающих при первом отражении на гиперболу. Что будет
с остальными лучами, непонятно, они будут, видимо, теряться.

lenmas

Вроде как, если такая поверхность есть, то на оси вращения у нее должна быть особенность ("острие" или же вообще уход на бесконечность).
Да, кстати, если, как у катафота, потребовать отражения параллельного пучка в параллельный пучок, то ответом
является прямой угол, то-есть имеющий излом в оси симметрии. Видимо, в случае когда лучи пускаются из конечной
точки, то излом будет еще хуже, то-есть "острием", как ты описываешь, или угол будет не прямой, не знаю.
Вроде бы даже в планиметрии есть такая задача, какой должен быть угол, чтобы отразясь от его сторон попеременно
n раз луч вышел в противоположном направлении. Ответ вроде pi/n и n должно быть четным.
Так что в "острие" луч "затеряется" и на "острие" в принципе надо не обращать внимания.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: