Определение замкнутой поверхности

pishet

Определение субжа. Кто может?

dimaxd

Определение замкнутого многообразия сойдет? (Поверхность - это многообразие, вложенное в евклидово пространство подходящей размерности.)
Многообразие называется замкнутым, если оно компактно и не имеет границы.

pishet

Нет, что нить попроще, в духе матана на физфаке в третьем семестре

milana1

а какое слово на физфаковском матане не используется? "компактный" или "граница"?

Ksun

Видимо, следующие
(Поверхность - это многообразие, вложенное в евклидово пространство подходящей размерности.)

pishet

например: односвязная область - область любые две точки которой можно соеденить линией целиком принадлежащей данной области

Vikuschechka9

Это называется линейно связная

pishet

но смысл то не в этом, а в том как дать определение замкнутой поверхности.

milana1

вот так и дать. компактная поверхность без границы

Vikuschechka9

Да, самое простое и разумное.

pishet

Замечательно, т.е цилиндр без стенок - незамкнутая поверхность, а какая? и можно определение компактности

kvn1726

цилиндр без стенок- поверхность? мм...

pishet

В смысле без донышек...

milana1

>и можно определение компактности
а что, на физфаке реально доучиться до третьего семестра и не узнать определение компактности?

pishet

я знаю но забыл...

krot-312

Замкнутая поверхность:
2 любых точки этой поверхности можно соединить отрезком, который пересечет границы этой области четное количество раз.

pishet

Вот это интереснее - тем не менее что же такое компактная область?

milana1

расходится с каноническим определением, очевидно
пример: бесконечный цилиндр

Vikuschechka9

Подозрительное определение. Какие границы если она замкнутая?

kachokslava

Тор - замкнутая поверхность? есть две точки такие, что отрезок пересекает поверхность один раз.

kachokslava

Односвязная - любой контур стягивается в точку. тор - неодносвязный

naami_moloko

Поверхность => множество, так как вопрос абсолютно топологический, то я не понимаю, чем не устраивает _единственное_ топологическое определение замкнутого множества?
To и остальным, рассуждающим про многообразия, с каких пор замкнутый шар не имеет границы?

Vikuschechka9

Топологическое определение?! То есть множество замкнутое, если содержит свои предельные точки? Ну-ну
Замкнутое - без края. На пальцах. Пересекаем поверхность,вложенную в R^n достаточно большой размерности, с любой окрестностью любой её точки. Если такое пересечение как диск - тогда всё ништяк. Если есть типа полудиски - тогда встретили край.

naami_moloko

Нет, топологическое определение - если является дополнением открытого, а задание открытых подмножеств(с 3мя свойствами) и есть по определению задание топологии на множестве.
Многообразия, карты которых гомеоморфны R^n, и называются многообразиями без края(даже у того же Фоменки, не говоря уж о М. Хирше). Если есть карты, гомеоморфные R+^n - то многообразие с краем. Есть понятие компактных многообразий - классическое ограниченное и замкнутое как множество.
Никогда и нигде в топологии не встречал употребления слова "замкнутое" в другом смысле - иначе давай линк(например на книжку если уверен в собственной правоте.

Vikuschechka9

Так-так... Если я тебя правильно понял...
Ты считаешь, что *по определению* компактное многообразие - это замкнутое и ограниченное? Ну нет Надо ж ещё про вложение тогда говорить... А то, думаю, с хорошим многообразием плохим вложением можно такое утворить, что мама родная не узнает
Из любого покрытия можно выделить конечное подпокрытие А все остальные *определения* - перепевки либо трактовки в конкретных случаях.
Ещё я может не понял - есть сомнения в том, что *по определению* замкнутое многообразие - это компактное многообразие без края? Тогда смотри Современную геометрию (Дубровник стр 417 (издания с двумя книжками, в трёх не знаю где )
[оффтоп]
Кстати, кто нам помешает считать, что топологически замкнутое множество это то, которое содержит все свои предельные точки? И это будет тоже правильно наряду с определением замкнутости непосредственно в терминах введённой топологии.
[/оффтоп]
Резюмируя, получаем, что есть две разные по определению сущности:
1) замкнутые множества
2) замкнутые многообразия
//если занудствую и повторяюсь - извиняюсь, просто очень спать хочцца

naami_moloko

Да, слово компактное относительно многообразий означает то же самое, что и обычно. Ещё бывают паракомпактные многообразия - например R^n.
Что нужно говорить про вложения я не понял честно говоря. Есть прекрастная теорема Уитни, из которой следует, что любое компактное хаусдорфово многообразие вкладывается в R^n (любое паракомпактное хаусдорфово гомеоморфно _замкнутому_ подмножеству некоего банахова пространства).
К сожалению Дубровника "Современную Геометрию" не нашёл(но неперменно посмотрю при случае могу только сказать, что мы сейчас говорим не о геометрии, а о _топологии_, и соответственно отсылаю к серьёзной книжке - М. Хирш "Дифференциальная топология" (если надо, список могу дополнить Глава I. Только что её пролистал, ничего не нашёл про "замкнутость" многообразий там. То, что это книжка серьёзная, думаю увидишь, если возьмёшь её почитать на досуге. Там даже хаусдорфовость и счётность базы не подразумевается.
Про более корректное определение компактности согласен.
Про оффтоп - да, пожалуйста, считайте так в матане, но не в топологии - предельная точка определяется через окрестности, как ты будешь выбирать окрестности, если нет топологии? (как я уже сказал задание топологии на множестве однозначно задаёт все замкнутые множества).
То, что замкнутые многообразия(я всё-таки не отказываюсь от своих(!) терминов ) и замкнутые множества по сути разные вещи - бесспорно, потому что многообразия и множества разные вещи.

Vikuschechka9

Я вот о чём говорил. Многообразие определяется сначала БЕЗ теорем Уитни - полностью абстрактно - а уж потом оказывается, что оно МОЖЕТ вкладываться как следует в R^N. Лучше не путать порядок. Если же сразу рассматривать каждое многообразие с именно таким вложением - тогда и правда определения совпадают.
Думаю, не надо пояснять почему именно такой подход правилен? Вот например, если отойти от компактности, замкнутости и рассмотреть понятие *гладкости*, то граница треугольника сама по себе - гладкое мн-е, а на плоскости в виде треугольника, т.е. как подмногообразие, выглядит весьма сомнительно. К тому же, иногда не хочется довольствоваться индуцированной на многообразии окружающим пространством метрикой... В общем, такой подход удобнее и более общ.
Однако дубровник-то посмотри;-) Хирша не читал, спасибо за наводку Да, кстати, если Дубровник не нравится, есть и в ФоМищенко это определение (Курс ДифГема и топологии - Мищенко-Фоменко) на странице 254.
Про окрестности - да, согласен. Хотел определить окрестность как любое открытое множество, содержащее эту точку, но потом понял, что ставлю телегу спереди лошади

naami_moloko

Предлагаю перемирие, о математике можно говорить бесконечно и с удовольствием!

kachokslava

шар - не поверхность

Vikuschechka9

А мы и не воевали Мне лично такой спор понравился

naami_moloko

Взаимно

milana1

>Думаю, не надо пояснять почему именно такой подход правилен?
Арнольд В. И. утверждает, что именно такой подход категорически неправилен
бурбакизм это

NHGKU2

Дубровник
Дубровин, вообще-то.
потому-то его и не нашел, наверное

milana1

>Дубровин, вообще-то
как мы без тебя не догадались-то

NHGKU2

да, странно очень, что не догадались до сих пор

Vikuschechka9

Хм. Ну мобыть... Арнольду мобыть виднее - в его области Я ж привёл пример когда это лично для меня критично...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: