Связь производных и константы Гёльдера

tester1

Пусть функция бесконечнодифференцируема.
1. Пусть известны все её производные. Что можно сказать о константе Гёльдера?
2. Обратно, пусть известна константа Гёльдера. Что можно сказать о производных?
Может есть какая-то явная формула?

griz_a

В точке\на прямой?
Речь о показателе Гельдера - степени липшицивости? А в каком месте здесь слово "константа"?
Вроде из разложения в ряд Тейлора видно, что степень первой ненулевой производной равна показателю Гельдера.

tester1

 
В точке\на прямой?

в точке
Речь о показателе Гельдера - степени липшицивости?
да http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/1043/%D0%93%D...
 [math]$|f(x)-f(y)|\leq A|x-y|^\alpha$[/math] при х, близких к у.
альфа от 0 до 1
здесь А - константа Гёльдера, альфа - показатель Гёльдера
Вроде из разложения в ряд Тейлора видно, что степень первой ненулевой производной равна показателю Гельдера.
Можно подробнее, что-то не догоняю... Меня интересует константа Гёльдера, а не показатель.

griz_a

Как можно штуку, свою для каждой функции, называть константой? :)
А что, разве минимальная такая штука определена? Взял я функцию x+x^2, у нее какая константа Гельдера? 1 не подходит, любая больше одного подходит.

tester1

я вообще в теме не шарю

tester1

Взял я функцию x+x^2, у нее какая константа Гельдера?
от показателя зависеть должно и от точки

griz_a

Точка 0. Липшицевость будет при любом [math]$A$[/math] если [math]$\alpha>1$[/math] и при любом [math]$A>1$[/math] при [math]$\alpha=1$[/math]. Какая при этом константа Гельдера?
Если под "константой" ты понимаешь лишь то, что для какого-то альфа с такой константой будет выполнено неравенство, то ничего нельзя сказать :)
Если то, что альфа минимальное, а константа какая-то, то первая ненулевая производная заведомо не больше по модулю этой константы, если порядки первой и второй ненулевой производной имеют разную четность или первая и вторая ненулевые производные одного знака, то первая ненулевая производная заведомо меньше по модулю этой константы.

seregaohota

ты имел в виду
[math]$|f(x)-f(y)| = |f'(\xi)||x-y|$[/math]
или что?

toxin

Если [math]$f$[/math] из [math]$C^1$[/math], то [math]$|f(x)-f(y)|<\max_{z\in[x;y]}f'(z)|x-y|$[/math]. Т.е. константа Гельдера равна максимуму производной. Если известны производные только в одной точке, то ничего про нее нельзя сказать — всегда можно добавить бесконечно дифференцируемую функцию, у которой все производные в рассматриваемой точке равны нулю, но она отлична от нуля во всех остальных точках.

seregaohota

а если производная [math]$f'(z)$[/math] на отрезке отрицательна, то модуль в левой части отрицательный что ли? :)
ты забыл повесить модуль на теорему о среднем Лагранжа

tester1

Если известны производные только в одной точке, то ничего про нее нельзя сказать
Производные во всех точках известны.

seregaohota

Если речь идёт о конечном отрезке, тогда как и сказали по теореме Лагранжа о среднем максимум модуля производной на отрезке.

toxin

Да, нужен модуль. Так хотелось, чтобы все было просто...

tester1

Искреннее спасибо всем. Я пока не разобрался в вопросе. Видимо, проблема в том, что я слишком слабо ориентируюсь в вопросе и потому сам не знаю, чего хочу.
Спасибо что выслушали мои непричёсанные мысли.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: