уравнение v'+v+a(t)=0

zbe-tmp

решите кто-нибудь кто рюхает простое уравнение v'+v+a(t)=0.....

elektronik

a(t) -- это произвольная известная функция, и решение v = v(t)?
Просто, решение -- одно из -- зависит от вида a(t).

NHGKU2

v(t) = e^{-t}*\int v(t)*e^t dt.

elektronik

Общее решение -- это частное + решение однородного.
Про решение однородного: v' + v = 0.
Например, так.
Выписываем характеристическое уравнение: λ + 1 = 0
λ = -1;
Таким образом решение однородного: v = c e^{- t}.

griz_a

А можно кто не рюхает?
Метод вариации постоянной.
У v'+v=0 решение ce^(-t)
Считаем c функцией от t, тогда
v'=c'(t)e^(-t)-c(t)e^(-t)
v'+v+a(t)=c'(t)e^(-t)+a(t)=0
c(t)=-int(a(t)e^t)dt.
Итого v=-int(a(t)e^t)dt*e^(-t)

zbe-tmp

вообще, на самом деле там второе слагаемое не v - а v в квадрате,
а функция а(t)=1+3g(t)sin(t)-g'(t)cos(t)-sqr(g(t)cos(t где g(t) и g'(t) стремятся к нулю при t стрем. к бесконечности

elektronik

Да! Забыл про метод вариации постоянной!
Просто, например, если a(t) есть произведение многочлена на e^{bt}, где b постоянная, то частное решение можно найти достаточно быстро...
Если b не корень характеристического уравнения, то нужно искать решение в виде произведения многочлена степени не выше на e^{bt}

elektronik

v' + v^2= 0
dv/v^2 = -dt
1/v = t+ c
v = 1/(t+c) -- решение однородного.
Нужно найти частное решение. Сейчас подумаю.

agroprom

еще один способ, который любят в технических вузах
представить искомую функцию в виде произведения двух функций: v=xy, а потом на одну из них накладывают условие
в результате для решения линейного уравнения надо решить 2 уравнения с разделяющимися переменными

zbe-tmp

спасибо всем за помощь!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: