Как вычислить комплексный интеграл?

semute


конкретно это нужно для вычисления вот такого нтеграла - функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности (так что может быть в лекциях по урчпам):

говорят, что можно через вычеты - но здесь exp(-z^2) не стремится к 0 при |z|->беск
а по-другому через вычеты считать не умею = (
еще можно вроде через диференцирование по параметру - но тоже не понятно как

narkom

а если сделать замену p= \lambda - i/2 ?

semute

точно!
а какую тогда замену во втором интеграле надо сделать?

griz_a

Посчитать-то эту замену несложно, только как это приблизит нас к искомому интегралу?

semute

а в чем проблема?
если сделать замену, то i вообще уйдёт из интеграла

griz_a

Из внутренней части уйдет, зато залезет в пределы интегрирования, что дальше.

griz_a

У тебя горит задача? У меня завтра экзамен, после него я ее могу решить, сейчас жалко время тратить

semute

по идее останется константа на интеграл от exp(-z^2) dz
причем интегрирование по прямой, параллельной Ox
может, как-то доказыветя, что этот интегра равен интегралу просто по Ox?

semute

да, у меня тоже завтра экзамен, нужно именно к нему решить =

griz_a

Ну ты можешь сделать большой прямоугольник, обрезав хвосты и показать, что его вертикальные части будут лежать в области abs(Imz)<abs(Rez т.е.
Re (z^2)>0 и, видимо, будет тебе счастье. Так что да, так просто

semute

щас тут посидел, подумал, получилось вот что:
мы берем прямоугольник, причем на оси x справа берем точку m, на оси x слева - точку n (правая верхняя вершина и левая верхняя. нижние сдвинуты на i/2 вниз)
тогда интеграл по нему равен 0 (в том числе при m и n стремящихя к бескоонечности)
и чтобы доказать, что интеграл по оси x равен интегралу по прямой y=-i/2 по идее надо доказать, что интегралы по вертикальным границам взаимно уничтожатся при m и n -> беск
если m=n и стремить именно так, то эти интегралы просто равны и всё верно
формально интеграл по вертикальным границам запишется так: интеграл от 0 до 1/2 [exp(m^2)-exp(n^2)] dy = 1/2*(exp(m^2)-exp(n^2 и это вовсе не обязательно стремится к 0 при независимом стремлении m и n к беск...
или я где-то ошибаюсь?

griz_a

Во-первых, интеграл исходный сходится, поэтому можно брать m=n.
по идее надо доказать, что интегралы по вертикальным границам взаимно уничтожатся при m и n -> беск
если m=n и стремить именно так, то эти интегралы просто равны и всё верно

Во-вторых, почему это int_{-n+1/2i,-n} e^{-z^2} + int_{n, n+1/2i} e^{-z^2} = 0? Непонятно
формально интеграл по вертикальным границам запишется так: интеграл от 0 до 1/2 [exp(m^2)-exp(n^2)] dy = 1/2*(exp(m^2)-exp(n^2 и это вовсе не обязательно стремится к 0 при независимом стремлении m и n к беск...

Ты мошенничаешь. Делаешь какие-то странные замены и вместо интегралов получаешь какие-то константы. Этого я не понял.
Так вот
В-третьих, abs(int_{-n+1/2i,-n} e^{-z^2})<=abs(int_{-n+1/2i,-n} abs(e^{-z^2}=abs(int_{-n+1/2i,-n} e^{-Re(z^2)})=abs(int_{-n+1/2i,-n} e^{-(Rez)^2+Imz^2})=abs(int_{-n+1/2i,-n} e^{-n^2+Imz^2})<=abs(int_{-n+1/2i,-n} e^{1/4-n^2})=1/2*e^{1/4-n^2}->0, n->inf

semute

ооо! спасибо!

griz_a

незачто. ты практически все сделал сам, только не заметил

vovatroff

А просто выделить полный квадрат в показателе экспоненты и свести к интегралу Пуассона нельзя?

semute

как? пределы интегрирования станут другими

vovatroff

Ни фига. У вас от -inf до +inf, такими и останутся. Вы, наверное, не поняли.
Строго говоря - вы будете интегрировать вдоль прямой, параллельной вещ. оси,
по теореме Коши, это одно и то же.
Кстати, в Колмогорове-Фомине именно этот интеграл именно так и берется,
как я предложил. Элементарно совершенно, "без вычетов"

semute

что за теорема Коши? Есть торема о том, что интегал от аналитический функции по контуру равен 0. Ну и что? там же есть еще две вертикальные границы прямоугольника и надо строго доказывать что интегралы по ним стремятся к 0. Тогда интеграл по параллелной прямой будет равен интегралу по вещественной оси

vovatroff

Да, та самая теорема. У вас подынтегральное выражение содержит множитель exp(-a*x^2 благодаря которому интегралы по боковым сторонам прямоугольника в комплексной плоскости будут стремиться к нулю, когда вы будете их неограниченно раздвигать.
Но я-то имел в виду совсем простую вещь: вы делаете в своем вещественном интеграле замену переменной x -> x + с, как если бы с было вещественной константой. То есть вы вначале делаете эту замену переменной с вещественным c (что тривиально сводите интеграл к пуассоновскому и получаете для него замкнутое выражение, а уже потом аналитически продолжаете эту вещественную функцию в комплексную плоскость, просто подставив туда то комплексное значение c, которое есть у вас. Это просто другой способ решения задачи, не более того.

Julia080682

Дифференцируешь по аргументу показателя экспоненты, потом сводишь к искомому интегралу - и находишь этот интеграл из простейшего диффура. Решение занимает не больше странички.

semute

нижний скорее всего можно продиференцировать по одному из трех параметров и олучить дифур.
только по какому - хз
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: