Матожидание минимума двух биноминально расп. случ. величин

blackout

Есть две независимые биноминально распределенные B(n,1/2) случайные величины. Чему равно матожидание их минимума или по крайней мере его оценка сверху?

griz_a

[math]$Emin(X_1,X_2)= E X_2+Emin(X_1-X_2,0)=n/2+ Emin(n-X_1-X_2,0)=n/2 - Emin(X_1+X_2-n,0)=n/2-E(X_1+X_2-n) I_{X_1+X_2> n} = n/2 + n P(X_1+X_2> n) - E(X_1+X_2)I_{X_1+X_2> n} $[/math]
[math]$E(X_1+X_2)I_{X_1+X_2  > n}=\sum_{k=n+1}^{2n} k C^k_{2n}/2^{-2n} =2^{-2n} 2n \sum_{k=n}^{2n-1} C^k_{2n-1}=n/2$[/math]
Итого [math]$ Emin(X_1,X_2)=n/2+n/2(1-C^n_{2n}2^{-2n}) - n/2=n(1 - C^{n}_{2n} 2^{-2n})/2 $[/math]

lenmas

Круто! :)

blackout

Ответ неправильный для первых нескольких n. После второго знака = случайно не должно быть [math]$n/2+Emin(n-X1+X2,0)$ [/math]?

griz_a

 :confused:
n=1. min=0 с вероятность 3\4, 1 с вероятностью 1\4.
Смотрим на формулу:
1/2(1-1/2)=1/4
n=2. min=0 с вероятность 2 с вероятностью 1\16, 1 с вероятностью 1\2, 0 иначе. Матожидание -
10\16.
Смотрим на формулу: 2/2(1-6\16)=10/16
Что я делаю не так?
Проверял еще для n=6 и 12 перед тем как запостить. Можно примеры, где она не работает?
Ответ на вопрос про формулу:
Я заменил [math]$X_1$[/math] на [math]$n-X_1$[/math], потому что она так же распределена и тоже независит от [math]$X_2$[/math]

blackout

Да, все правильно. У меня просто исходы с 1, а не с 0 начинались. Спасибо.

griz_a

Уф :)
Не за что.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: