подскажите как построить невырожденную матрицу n*n

Krevetka

есть ли какой-нибудь алгоритм?
надо 16х16

Nefertyty

random

ppp2805107

капитан намекает,что единичная будет невырожденной

mtk79

алгоритм:
1) заполняете матрицу произвольными числами, кроме последнего элемента (или любого другого который называете х (намек на МПХ)
2) считаете определитель получившейся матрицы — это линейная ф-ия по х — и приравниваете к нулю.
Получится уравнение А*x+B=0
2') Если коэффициент A случайно оказался равен нулю — меняете любой другой, уже назначенный элемент, и заново идете в п.1
3) решаете уравнение x=x(A,B)
4) назначаете последний элемент любым числом, кроме найденного х
5) идете к начальнику и требуете увеличить зарплату

kachokslava

смотря какая нужна матрица.
есть две замечательные формулы:
1. [math]$$a_{ij}=\frac{1}{i+j+1},\quad i,j=0...n$$[/math]
2. [math]$$a_{ij}=\max(i,j)+1,\quad i,j=0...n$$[/math]
обе невырожденные.
первая - так называемая "матрица Гильберта", возникает в разных задачах численных методов. характеризуется тем, что число обусловленности для n=16 составляет уже over9000. т.е. применяя метод Гаусса из-за ошибок округления получаемый результат будет чуть менее, чем уныл вовсе.
поясню. предположим нам надо решить систему линейных уравнений [math]$$Ax=b$$[/math]
пусть матрица A - матрица Гильберта. пусть столбец b мы получили так: [math]$$b=A\cdot x^0$$[/math], где [math]$$x^0=(0,1,0,1,0,1,0,...)$$[/math]
Очевидно, что решая эту системы мы должны получить решение [math]$$x^0$$[/math].
Однако, если мы рассмотрим две величины [math]$$e1=||x-x^0||$$[/math] и [math]$$e2=||A\cdot x-b||$$[/math] - погрешность и невязка.
первая величины показывает, насколько мы отклонились от точного решения. вторая величина показывает, насколько найденное решение удовлетворяет заданной системе.
так, в случае матрицы Гильберта значения e1=over9000, e2 ~ 1e-10. каково?
вторая - такая матрица является обратной к матрицей, возникающей например из уравнения [math]$$u''=u$$[/math]. у неё число обусловленности невелико и даже на размерностях over9000 считается нормально. определитель такой матрицы равен [math]$$det_n=(-1)^{n+1}n$$[/math]. обратная матрица - трёхдиагональная, на нижней и верхних диагоналях 1, на центральной -2 (минус два a_11=1, a_nn=(n+1)/n (могу нагнать, но очень близко).
в случае этой матрицы значения e1=~1e-15, e2 ~ 1e-15. (для любых n до 9000)

stm7543347

так, в случае матрицы Гильберта значения e1=over9000, e2 ~ 1e-10. каково?
А нефиг в IEEE 754-числах уравнения с рациональными коэффициентами решать.

Krevetka

во единственный дельный пост, спасибо :cool:
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: