Сумма Sum{j=1..inf}

Scout

Подскажите, пожалуйста, как считается сумма типа
Sum{j=1..inf}( exp(-j(j+1) )?

for_sx

Может лучше проинтегрировать.

Scout

нужна сумма

lenmas

Никак! Это так называемая тета-функция в некоторой точке

Scout

Правда? Что сумму нельзя посчитать? А как именно вводится тета-функция? (определение)?

lenmas

Тут народ говорит, что есть такие q-функции, которые равны \sum _{j=0}^\infty q^{(j^2+j)/2}z^j, 0<q<1, так вот это неэлементарные функции. Если сумма берется от минус до плюс бесконечности, то они разлагаются в простое бесконечное произведение по нулям, нули будут q^n, n - целое, а если сумма берется от нуля до плюс бесконечности, то это целая функция нулевого порядка и последовательность нулей тоже эквивалентна q^n, только n теперь отрицательные целые. Значения этих функций при z=1, естественно, не выражаются через известные константы. Хотя (для двусторонних сумм) вроде известно, что при q=1/m, где m - натуральное, значения при z=1 иррациональные. Может, уже доказали, что и трансцендентные, но это надо спрашивать уже у Нестеренко с кафедры теории чисел с мехмата, у него там есть теоремы, которые позволяют доказывать трансцендентность разных чисел. Если надо книжка по q-функциям, спрошу у мужика в воскресенье.

Scout

А был вариант считать через вычеты. В чем здесь суть, я не особо понял?

lenmas

Да не, там функция должна стремиться к нулю быстрее 1/z, такой метод суммирования применяется обычно к рациональным функциям типа 1/(z-\zeta)^{2n}, а у тебя типа \exp{-z^2}, которая и к нулю не собирается стремиться.

Scout

 
а у тебя типа \exp{-z^2}, которая и к нулю не собирается стремиться.
почему? exp(-z^2) стремится к 0 быстрее 1/z

incwizitor

танкистам йоу
возьми z=sqrt(i)
и никуда она не будет стремиться
так что думай дальше

Regent711

про тета-функции можно почитать в
Уиттекер,Ватсон"Современный анализ",т2
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: