Задачка по дифгему

ssz1977

Доказать, что окружность S^1 гомототически не эквивалентна точке.

Sanych

Гомотопическая эквивалентность топологических пространств X и Y есть пара непрерывных отображений f и g такая что fg~Id и gf~Id , здесь ~ обозначает гомотопическую эквивалентность отображений. В этом случае говорят что X и Y гомотопически эквивалентны или X с Y имеют один гомотопический тип.
Отображение f:S^1->P есть только одно. Отображение g:P->S^1 определяется по g(P)=Q.
Итак, надо показать, что отображение fg:S^1->Q не является гомотопически эквивалентным отображению Id:S^1->S^1.
Простого доказательства я не помню, поэтому предлагаю посмотреть в книжке (должно быть где-нибудь рядом с темой "степень отображения").

goga7152

Простого доказательства я не помню, поэтому предлагаю посмотреть в книжке (должно быть где-нибудь рядом с темой "степень отображения").
Насколько мне известно, в курсе диффгема проходят когомологии де Рама. Поэтому проще всего это доказать, имхо, предъявив не точную 1-форму на окружности и используя гомотопическую инвариантность когомологий де Рама.

penpen

Окружность нельзя стянуть (прогомотопировать) в точку

goga7152

Окружность нельзя стянуть (прогомотопировать) в точку
Вроде бы никто в этом не сомневается, вопрос состоит в том, как это (проще) доказать. Знание страшных слов само по себе не решает проблемы

vit-makovey

Пусть есть непрерывное семейство отображений окружности в себя, деформирующее ее в точку. Каждому отображению ставим в соответствие отображение отрезка [0, 1] в R, причем образы 0 и 1 совпадают с точностью до целого числа.
Далее, Вначале имеем f(х)=х, в конце имеем f(х)=0 Пусть точка 0 фиксирована в процессе деформации - это всегда можно устроить, например композицией с поворотом. Тогда образ 1 всегда будет целым числом. Но образ 1 - по определению непрерывно зависит от времени деформации. При этом он целый. То есть константа. То есть в конце деформации останется 1, а должен быть 0.

penpen

Ну я думал, что тут доказывать то Вроде очевидно, что из S^1 дырку не выкинешь.

vit-makovey

попросили формальное, несложное доказательство. Есть два способа -
1) формально, несложно доказать.
2) сказать что очевидно и ухмыльнуться.

ssz1977

Всем огромное спасибо
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: