Помогите справиться с интегралом

vol4ara77

Вот собственно интеграл
в ответе указан B. Не могу понять почему?

mab1

у меня получается e/(e-1) , а у тебя?

demiurg

А у меня получился ответ B, только с другим знаком. Накосячил видимо.

demiurg

Да, и нашёл косяк в знаке, теперь их чётное число.

NHGKU2

Похоже, правда, (B).
Разбиваем луч интегрирования на [0,1], [1,2], [2,3], ... (на них ф-ция [x] постоянна и равна левому концу). Вычисляем каждый из получившихся интегралов, производим сокращения и получаем
[math]$$e^{-1}+e^{-2}+e^{-3}+\ldots=\frac{1}{e}\frac{1}{1-\frac{1}{e}}=\frac{1}{e-1}$$[/math]

vol4ara77

А как его брать надо.Подскажи, плиз. Я чё-то совсем туплю.

vol4ara77

точно спасибо огромное

lenmas

Разбить на сумму по отрезкам [n-1,n]?
Есть еще красивый способ проинтегрировать по частям в интеграле Стилтьеса:
[math]  $$  \int\limits_0^\infty[x]e^{-x}\,dx=-\int\limits_0^\infty[x]de^{-x}=\int\limits_0^\infty e^{-x}d[x]=\sum_{n=1}^\infty e^{-n}=\frac1{e-1},  $$  [/math]
но боюсь преподы не поймут такого юмора :grin:

griz_a

[math]$\int\limits_{0}^{\infty} [x] e^{-x}dx = \sum\limits_{0}^{\infty} k \int\limits_{k}^{k+1} e^{-x} = \frac{e-1}{e} \sum\limits_{0}^{\infty} k e^{-k} =-\frac{e-1}{e} \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{de^{-kx}}{dx}_{x=1}=-\frac{e-1}{e} \frac{d\sum\limits_{0}^{\infty} e^{-kx}}{dx}_{x=1}=-\frac{e-1}{e} \frac{d(1/(1-e^{-x}}{dx}_{x=1}= \frac{e-1}{e}  \frac{e^{-1}}{(1-e^{-1})^2}=\frac{1}{e-1}$[/math]

stream_24

Все узнали задачу из Math GRE?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: