[туплю] Обращение теоремы Морера

turik

Из теоремы Морера следует, что для неголоморфной функции (которой, например, очевидно не является комплексное сопряжение) найдётся такой замкнутый контур, интеграл по которому не будет равен нулю.
Я что-то никак не соображу, для каких контуров интеграл функции комплексного сопряжения не равен нулю?

assasin

Для любой кусочно-гладкой (наверняка достаточно спрямляемости) замкнутой жордановой кривой интеграл от $[math]$\overline z$[/math]$ по этой кривой в положительном направлении равен площади области, которую кривая ограничивает, помноженной на 2i (формула Грина).

Vlad128

Т.е. он всегда чисто мнимый? Не будет ли отсюда следовать голоморфность Re Z? Я тоже туплю

assasin

Не будет ли отсюда следовать голоморфность Re Z?

Не будет. Поскольку интегрирование идёт не по вещественной прямой, то вещественная часть (контурного) интеграла не равна интегралу вещественной части, вообще говоря. Более того, интеграл от вещественной части равен площади, помноженной на i, то есть тоже всегда чисто мнимый.
Это, в общем-то, и без всяких Гринов легко понять, поскольку $[math]$x\,\mathrm dz=x\,\mathrm dx+\mathrm ix\,\mathrm dy$[/math]$ . Интеграл от $[math]$x\,\mathrm dx=\mathrm d(x^2/2)$[/math]$ равен нулю, а $[math]$x\,\mathrm dy$[/math]$ при интегрировании выплюнет площадь.

Suebaby

Из теоремы Морера

Мореры

Vlad128

Я, кстати, до этой темы тоже не знал, в универе в программе экзаменов точно было "Морера", потому что я бы запомнил

А вот тут залез в вики освежить память, а там — Мореры

Оставить комментарий