Задача по дифференциальной геометрии

koshurka

Описать геодезические на гл-ом многообразии SO(3 проходящие через E единичную матрицу, хотя бы план действий

Lene81

ну, если учесть, что SO(3) топологически эквивалентна трехмерному проективному пространству...

NHGKU2

Если "в лоб", то:
1) выбираешь координаты (углы Эйлера);
2) считаешь символы Кристоффеля;
3) записываешь уравнения геодезических;
4) решаешь их, учитывая начальные условия [math]$\gamma(0)=E$, $\gamma'(0)=a$[/math] (a — фиксированная матрица из so(3) — касательного пространства в E).
Только не факт, что уравнения геодезических удастся решить :)

koshurka

Карты, на которых координатами служат углы Эйлера, не содержат Е, это проблема подобрать координаты и выразить через них компоненты. Надо получить символы Кристофеля, но по другому думается. Решить уравнение можно подбором, ещё версии есть, друзья?)

koshurka

Думаем

LEV16101951

SO(3) — это же конфигурационное пространство абсолютно твердого тела с закрепленной точкой. Открываешь любой учебник по теормеху и смотришь там соответствующие уравнения Эйлера вместе с описанием всех (известных) случаев, когда они интегрируются в квадратурах.

Lene81

Карты, на которых координатами служат углы Эйлера, не содержат Е, это проблема подобрать координаты и выразить через них компоненты.
А если использовать не эйлерову параметризацию, а параметризацию группы SU(2) (забыл, как они называются, параметры Клейна, что ли). Т.е. параметризовать SU(2 а потом воспользоваться эпиморфизмом SU(2) -> SO(3)

koshurka

Можно поподробнее с интегрируемыми случаями уравнений Эйлера? Как это связано с геодезическими?

mtk79

Это уже Ваша задача связать одно уравнение с другим. И посмотреть, приводится ли одно к другому — или это была неудачная конжектура

koshurka

Ещё вопрос, или очень сложный или очень простой, пришёл к уравнению x``*cos(x)=const, как решить?

LEV16101951

Если на SO(3) задать метрику кинетической энергии тела, то движение твердого тела происходит по геодезическим этой метрики. Если ты рассмотришь в качестве тела однородный шар (тензор инерции — единичный то, если не путаю, метрика кинетической энергии будет пропорциональна той метрике, которая индуцируется на SO(3) из R^9 (я так понимаю, тебя интересуют геодезические именно в этой метрике).
А вращение однородного шара качественно описано в любой книжке по теормеху. Посмотри, к примеру, "В. И. Арнольд. Математические методы классической механики". Заодно там же найдешь описание геодезических и для кучи других метрик на SO(3).

koshurka

Задача решена, спасибо за помощь, если кому интересно напишу

Lene81

Задача решена, спасибо за помощь, если кому интересно напишу
А прямо сюда нельзя? Мне вот интересно, да и другим, думаю, тоже.

koshurka

Итак:
1. Находим касательное пространство к SO(3) в точке E в пространстве R9, то есть вычисляем 6 градиентов A*A'=E и находим ортогональное дополнение к их линейной оболочке (метрика из R9 это кососимметричные матрицы;
2. Доказываем что геодезические это кривые вида exp(At где A - элемент того самого касательного пространства (вопрос как найти геодезические заранее не зная ответа остаётся открытым надо доказать следующее:
а) exp(At) принадлежит SO(3)
б) ||A*exp(At)||=const (парметризация пропорциональна натуральной)
в) вектор A*A*exp(At) ортогонален касательному пространству к SO(3) в точке exp(At)
дальше применяется теорема единственности;
3. Сначала найдём exp(At) где у A только два элемента отличны от 0, получается матрица поворота относительно соответствующего координатного вектора, значит для произвольной кососимметричной A exp(At) это композиция поворотов
4. б) и в) следуют из того, что (A,B)=tr(A*B' например
||A*exp(At)||'=tr(A*exp(At)*exp(At)'*A')=tr(A*A')=||A|| не зависит от t
Геодезические на других матричных группах в E имеют такой же вид, отличие в касательном пространстве. Всё

mtk79

вопрос как найти геодезические заранее не зная ответа остаётся открытым
может быть, решить уравнение геодезических с начальными условиями? как уже неоднократно предлагали

stm7543347

Это не для пацанов благородных рыцарей, ибо те должны именно искать. Ну то есть пуститься в поиски, и искать денно и нощно, сквозь град и бурю, не щадя живота своего, а лучше вражеского...

Lene81

1. Находим касательное пространство к SO(3) в точке E в пространстве R9, то есть вычисляем 6 градиентов A*A'=E и находим ортогональное дополнение к их линейной оболочке (метрика из R9 это кососимметричные матрицы;
2. Доказываем что геодезические это кривые вида exp(At где A - элемент того самого касательного пространства (вопрос как найти геодезические заранее не зная ответа остаётся открытым надо доказать следующее:
а) exp(At) принадлежит SO(3)
Вообще, то, что описано — построение алгебры Ли (касательного пространства) для группы Ли и обратная процедура восстановления группы по ее алгебре.

chepa02

решать уравнение в лоб в дифференциальной геометрии нужно очень редко
понять по записи в координатах что за объект получится обычно очень сложно
и хорошие задачи всегда предполагают хитрый обходной маневр
в этом отличие дифгема от дифуров :)

chepa02

можно наверное сформулировать задачу в общем виде ?
что-то вроде: геодезические инвариантных метрик на группах Ли всегда имеют вид экспоненты
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: