Почему в L^1 из любой сети можно выбрать последовательность?

philnau

В пространстве [math]$L^1$[/math] из любой сходящейся сети [math]$\xi_\alpha \to \xi$[/math] можно выбрать подпоследовательность [math]$\xi_{\alpha_n} \to \xi$[/math].
Как это элементарно док-ть?
Док-во должно быть похоже на док-во того факта, что непересекающихся множеств положительной меры на вероятностном пр-ве может быть не более чем счетно
(так как для любого [math]n[/math] мн-в с мерой [math]$>\frac1n$[/math] ) не более чем [math]$n$[/math].

sverum

А что такое сеть?

lena1978

а что такое L^1? в нем метрика есть?

lenmas

А что такое сеть?
Вроде есть параллельное название "направленность".

lena1978

если есть метрика, то доказывать нечего.

Vlad128

В L^1 есть норма.

Vlad128

Но я все равно не понимаю, где есть, чего доказывать? Когда топологическое пр-во?

lena1978

значит есть метрика :)

Vlad128

спасибо, КО, напиши уж доказательство.

lena1978

ну хз, наверно есть случаи, в которых доказать, что пространство является пространством фреше-урысона, - нетривиальная задача :)

lena1978

ну какбе выбираем произвольно [math]$\xi_{\alpha_i} \in \{\xi_{\alpha}\} \bigcap O_{1/i}(\xi)$[/math]

philnau

http://en.wikipedia.org/wiki/Net_%28mathematics%29
Definition
If X is a topological space, a net in X is a function from some directed set A to X.
If A is a directed set, we often write a net from A to X in the form (xα which expresses the fact that the element α in A is mapped to the element xα in X.
In mathematics, a directed set (or a directed preorder or a filtered set) is a nonempty set A together with a reflexive and transitive binary relation ≤ (that is, a preorder with the additional property that every pair of elements has an upper bound.[1]

philnau

Однако, L^1 является банаховой решеткой и под сходимостью [math]$\xi_\alpha\to\xi$[/math] понимается сходимость относительно порядка. Т.е. можно считать, что [math]$\xi_\alpha$[/math] монотонно убывают к нулю почти-наверное.

lena1978

а что значит, что монотонно убывает к нулю почти-наверное? можешь формулой написать?

philnau

а что значит, что монотонно убывает к нулю почти-наверное? можешь формулой написать?
Считаем, что [math]$\xi_\alpha\ge 0$[/math], тогда это значит, что если [math]$\forall \alpha$[/math] [math]$\xi_\alpha\ge\eta$[/math], то [math]$\eta\le 0$[/math].
То есть инфимум=0.

lena1978

а L1 на отрезке или на прямой? :)

philnau

а L1 на отрезке или на прямой?
на вероятностном пр-ве
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: