Пространство l^1

tramal

Является ли пространство l^1
а) гильбертовым (и если да, то с каким скалярным произведением)
б) сепарабельным
в) вложено ли оно в l^2?

tramal

l^1 - это пространство бесконечных последовательностей, у которых сумма модулей координат конечна

vitamin8808

a) нет
б) да
в) да, как множество.

tramal

ты меня убил

vitamin8808

блин, я у тебя сидел, ты не могла спросить ?
а чё такое-то ? не пролетай мимо окна 740, ОК ?

tramal

мне нужно для l^1 утверждение того, что из любой ограниченной последовательности можно выбрать слабо сходящуюся, а в лекциях Богачева такое утверждается только для гильбертовых пространств.

vitamin8808

я забыл, к l^1 сопряжённое l^{\infty} ?

tramal

да

lera__m

Почему а) нет?
взять (a, b) = sum {0, oo} |an*bn|

Forsit

мне нужно для l^1 утверждение того, что из любой ограниченной последовательности можно выбрать слабо сходящуюся

Попробуй рассмотреть последовательность:
(1,0,0,0.....)
(0,1,0,0,0.....)
(0,0,1,0,0.......)
(0,0,0,1,0,0,0......)
че1-то я не уверен, что из нее моджно выбрать сходящуюся этом пространстве

_shmel_

Слово "слабо" видел?

tramal

на самом деле последовательность не любая, она является минимизирующей, то есть для любого x, для любой последовательности y_n такой, что ||x-y_n|| сходится к расстоянию от x до единичного шара в l^1, нужно доказать, что из y_n можно выбрать слабо сходящуюся

vitamin8808

определение гильбертова пространства знаешь ?
проверишь все аксиомы, приходи.

Forsit

видел.
выбери, пожалуйста такую подпоследовательность.

vitamin8808

вроде из неё нельзя.

Forsit

маза, именно по этому я ее и привел
Проверять для функционала "сумма координат".
2реддишь.
Чей-то я не врублюсь в эти условия.
могешь переформулировать утверждение полностью?

tramal

Могу: доказать, что шар в l^1 является аппроксимативно компактным

Forsit

определение аппромаксимативной компактности напомни, плс.:)

tramal

что означает примерно следующее: доказать, что из всякой минимизирующей последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность

vitamin8808

а у тебя определение минимизирующей посл. правильно написано ?
какое-то оно страшненькое.

Forsit

берем y_n- мою последовательность, а x- нулем.
это не контпример, часом?

tramal

а расстояние ты как определяешь?

Forsit

расстояние отчего до чего?
между векторами- норма разности

Forsit

стоп..
там было расстояние до шара, или до сферы?

vitamin8808

ок, а если
x=(2,0,0,0,0,0,0,...)
y_n=(2,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0 где 1 на n-ом месте
это не контр-пример ?
ЗЫ ну там не 1, а какая-то константа, ломает считать

tramal

Определение из лекций

Forsit

похож, на первый взгляд
убивать-таи тебя будут

tramal

да, определение я криво написала: у y_n норма меньше 1 должна быть

vitamin8808

а в опр. $y_{n_k}\to y$ по норме или слабо ?

tramal

по норме, но в l^1 вообще-то эти сходимости эквивалентны

Forsit

кстати, у тебя, вроде было альтернативное определение аппроксимативной компактности.
может, с ним дело легче пойдет?

vitamin8808

забыл уже
По ходу так с налёту не решить, надо в литературу закапываться

tramal

Есть теорема для равномерно выпуклых гладких баноховых пространств Х и чебышевских множетсв М: М - ап. компакт тогда и только тогда, когда М - выпукло
М - чебышевское множество, если для любого х из Х Р_М состоит ровно из одной точки (то есть для любого х не из М существует и единственен элемент наилучшего приближения, то есть такой у, что ||y-x||=расстоянию от x до М)

vitamin8808

надеюсь l^1 равномерно выпуклое и гладкое ?

tramal

l^1 не является равномерно выпуклым походу
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: