Задача по планиметрии 8 класс

Moditen

Дано: равнобедренный треугольник АВС
Доказать: что разность расстояний от произвольной точки, лежащей на продолжении основания, до сторон треугольника постоянна, и равна высоте треугольника, проведенной к боковой стороне

Forsit

метод координат тебя спасет.
или банальный подсчет синусами.

locker

реально тупишь
пусть наш треугольник -- ABC, точка на основании -- D и лежит, скажем, справа от С
угол B = 2 * phi
AC = a
CD = b
тогда искомая разница высот суть (a + b) * cos(phi) - b * cos(phi) = a * cos(phi) = той самой высоте, проведённой к боковой стороне

electricbird

пусть AC - основание, D - точка на продолжении (С между A и D DE расстояние до AB, DF - до BC, CH - высота. Тогда из подобия прямоугольных треугольников имеем:
FD/CD = ED/AD = CH/AC. осталось воспользоваться таким фактом: если a/b = c/d, то (a-c)/(b-d) = a/b (при b!=d, конечно)
то есть, (ED - FD)/(AD-CD) = CH/AC => ED - FD = CH. Ч.т.д.

Moditen

это 8 класс
синусов и метода координат я "пока не знаю"
т.е. задачу надо объяснить детю неразумному
да кстати: эта задача включена в зачет по теме "четырёхугольники"

locker

Джулин тебе без синусов и координат всё написал
чего тебе ещё?

resident

самый наверно строгий способ - это через вектора расписать - показать что соотвествующая разница модулей двух соответствующих векторов - константа и равна по модулю соответствующей высоте, но так как задача про 4-хугольники, то думаю, что пойдет
и такой способ:
типа выбираем произвольную точку, рассматриваем подобные и прочие треугольники, выиискиваем там параллелограмм и типа все ништяк у нас сходится, но в силу произвольности выбора точки будет полный ништяк
по другому врядли как то можно

Moditen

подобие треугольников - тема следующей четверти
ребят, я понимаю, как это звучит, но это правда: ребёнок пока не знает ни синусов, ни подобия
я, конечно, могу ему всё это объяснить, но:
1 - не факт, что он это сразу усвоит
2 - раз уж школьная программа построена так, то какого фига я буду ее перекраивать

Moditen

я его игнорила. тока что прочитала

resident

ну значит не подобные - а равные там кажется
а признаки равенства треугольников - это 7-й класс

RZ3ARO

Ты хоть напиши что мы "знаем"

locker

такблин
а что ребёнок знает?
теорему пифагора?
а фалеса?

electricbird

пиши, что уже знает. и ещё, желательно, по какому учебнику всё происходит.

Moditen

подобные и прочие треугольники

нету подобия треугольников
и векторов тоже нету
есть тока свойства четырехугольников и теорема Фалеса (и та не обобщенная)
у меня перед глазами учебник, все вышеперечисленные способы будут "законными" через листов 15-20

resident

в общем там равными треугольниками обойтись можно кажется

Moditen

учебник Атанасяна
пифагора не знают
знают:
с-ва четырехугольников (пар-мм, трапеция, ромб, квадрат..)
теорема фалеса (не обобщенная)
тредняя линия треугольника

resident

в общем общая нить доказательства изложена и пользоваться нужно признаками равенства треугольников
во так:
типа выбираем произвольную точку, рассматриваем равные треугольники, выиискиваем там параллелограмм и типа все ништяк у нас сходится, но в силу произвольности выбора точки будет полный ништяк

locker

нет там никакого равенства

Moditen

гы.
общую нить я и до этого изложила сама себе
а при конкретном подходе к треугольникам - не могу доказать, что они равны (есчли докажу, то все в ажуре)

locker

да где вы там равные треугольники найти-то хотите?
кроме тех двух, на которые делит треугольник высота, других там нет

locker

пальцем покажи

resident

а при конкретном подходе к треугольникам - не могу доказать, что они равны (есчли докажу, то все в ажуре)

там все просто

electricbird

в моих обозначениях отображаем точку F относительно AD в F'. EHCF' - прямоугольник

Moditen

равные: один получается из продолжения основания АВС (АС перпендикуляра из произвольной т.М к стороне ВС (М лежит справа от С) и второй: тоже общее продолжение основания АВС, перпендикуляра из С к МЕ (МЕ - расстояние от М до второй боковой стороны)
не знаю, понятно ли...

locker

гы
прикольно
да ты крут %)

resident


мышка с большой чувствительностью

Moditen

а то я не знала:)
дальше то что?
картинка у меня нарисована так же как и у тебя, тока обозначения на 2 буквы расходятся
ЗЫЖ решаю её просто уже не первый день, где-то заклинило наверное

electricbird

как что? всё одна сторона представляет разность, ей равная - высоту

Moditen

подробнее о равенстве углов KDC и CDN
именно это место!

resident

рассмотри треугольник: A(точка между A и B)D
углы при вершинах A и C у треугольника ABC - равны

locker

ты чего?
дальше ж всё ясно
df' = df
ef' = ch
df' + ef' = ed => df + ch = ed => df - ed = ch
всё!

Moditen

разжуй для дурочки плиз
до прямоугольника я дощла самостоятельно
упёрлась в доказательстве равенства вышеописанных углов

Moditen

df' = df

подробнее это место
почему они равны?

locker

bac = bca = dcn = kcd
продолжать?

RZ3ARO

А равенство KCD & NCD тоже вызывает сомнения?

locker

из равенства треугольников

Moditen

если F проецируется в F` где гарантия, что CF` будет перпендикулярна DE?
а если она перпендикулярна по построению, то где гарантия, что она равна CF?

Moditen

блин. сомнения не вызывает
ты можешь это строго доказать ?

locker

из
равенства
треугольников

electricbird

расписывай углы, аккуратно и по очереди. угол при основании - а, через него всё выражается

RZ3ARO

KCD = BAC(параллельные - секущая)
BCA = NCD(накрестлежащие?)
BAC = BCA(дано)
=> KCD = NCD

locker

aed = cf'd по построению
bac = bca = fcd очевидно

RZ3ARO

Смотри выше

Moditen

эврика!
до меня с утра дошло...спать видимо больше надо!
всем спасибо за терпение и кчастие!

Custodian

Проведём через вершину прямую, параллельную основанию. На продолжении основания выберем точку. Проведём через эту точку прямую, параллельную боковой стороне, получим равнобокую трапецию. Опустим из нашей точки перпендикуляры на стороны треугольника, и проведём высоту к боковой стороне треугольника, лежащей внутри трапеции. Продолжим высоту до боковой стороны трапеции. Получим в трапеции две высоты к боковым сторонам, которые равны. Также очевидно, что одна из высот трапеции равна сумме высоты треугольника и перпендикуляра, опущенного на одну из боковых сторон, а другая высота совпадает с перпендикуляром, опущенным на другую боковую сторону.
Пользовались только свойствами четырёхугольников. Хорошая задача для зачёта по теме.

Custodian

Извини, твоё последнее сообщение появилось, пока писала решение.

resident

девочка-тугодум

Moditen

понимаешь, сложно решить в третий раз задачу сложно, а не просто через векторы или синусы

kiritsev

мне лень было читать весь тред, может кто-то уже это и говорил...
но достаточно просто посчитать площади треугольников.
типа площать исходного треугольника равна разности.
S(ABC) = S(ABD) - S(CBD)
ну там ещё модуль конечно,
тк D может быть с разных сторон.
вот.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: