Задача на делимость.

bvlady552

Помогите с решением данной задачи.
Доказать, что не делится на 121.
P.S.
Может это разложение как-нибудь поможет?!

iri3955

О да, поможет. Пристально посмотри и реши, почему оно если делится на 11, то не делится на 121

KaterinKa

Положим n = m+4, тогда (n+7n-4) = m(m+11) = 121k-33 = 11(11k-3).
Положим далее, что m = 11p+q, где q — от 0 до 10.
Тогда будет 121p(p+1)+11(2pq+q)+q^2 = 11(11k-3).
Следовательно, левая часть должна делиться на 11.
Сумма первых двух слагаемых в ней делится на 11, а третье слагаемое — квадрат некоторого числа от 0 до 10 — будет делиться на 11 только в случае q=0.
Тогда уравнение примет вид (после сокращения обеих частей на 11):
11p(p+1) = 11k-3
Левая часть делится на 11, а правая нет. Следовательно, не существует таких целых p и k, которые удовлетворяли бы уравнению.

Yansloka

можно тупо в лоб:
перебираем остатки от деления на 11: все кроме 4 откидывается. Далее подставляем n=11*k+4. Получаем 121k*2+121k+33.
Очевидно, что не делится на 121

z731a


Положим n = m+4, тогда (n+7n-4) = m(m+11)
Тогда n*n+3n+5 = m*m + 11m + 33 делится на 11, если m*m делится на 11, т.е. если m делится на 11. Но если m делится на 11, то m*m+11m делится на 121, значит m*m+11m+33 на 121 не делится, т.к. 33 на 121 не делится.

lenmas

Положим n = m+4, тогда (n+7n-4) = m(m+11) = 121k-33 = 11(11k-3).
Положим далее, что m = 11p+q, где q — от 0 до 10.
Тогда будет 121p(p+1)+11(2pq+q)+q^2 = 11(11k-3).
Следовательно, левая часть должна делиться на 11.
Сумма первых двух слагаемых в ней делится на 11, а третье слагаемое — квадрат некоторого числа от 0 до 10 — будет делиться на 11 только в случае q=0.
Тогда уравнение примет вид (после сокращения обеих частей на 11):
11p(p+1) = 11k-3
Левая часть делится на 11, а правая нет. Следовательно, не существует таких целых p и k, которые удовлетворяли бы уравнению.
Что-то ты как-то сложно объясняешь. же идею решения сказал. Что типа если (n+7n-4)+33 делится на 11,
то одно из n+7 и n-4 делится на 11, но они отличаются на 11, поэтому оба делятся на 11. Следовательно их произведение делится на 121, соответственно, прибавить 33 уже не делится на 121.

KaterinKa

>> Что-то ты как-то сложно объясняешь.
Да я просто решал по ходу написания поста.
И, к тому же, я не математик, и такие сложные для себя вещи не могу сходу сообразить.
В любом случае, это топикстартер должен выбирать, какое решение ему больше понравится и будет более понятным — мое решение или решение .

vbelov

что-то знакомая задача. откуда взял?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: