задачки с очевидным и неверным решением

1853515

кто какие знает несложные (относительно, по крайней мере) задачи, которые бы имели очевидное но не верное решение?..
Чтобы их можно было в качестве контр-примера на высказывания типа "это очевидно" приводить...
Или что-нибудь вроде геометрической задачи (щас подробностей не помню где сначала рисуется рисунок, и по нему делается вывод, явно не верный (не помню уж какой рисунок) и вся загвоздка оказывается в том, что на самом деле чертеж по условиям задачи будет выглядеть иначе (по-моему, что одна из точек, которая изначально рисуется внутри треугольника, на самом деле должна быть снаружи)

margo11

Первый блин комом.
Задача. Пусть есть семейство подмножеств множества натуральных чисел. Известно, что для любых двух подмножеств А и Б семейства либо А содержится в Б, либо Б содержится в А, либо А и Б совпадают. Может ли семейство оказаться несчетным?
Ответ "Очевидно, не может!" неверен.

tinka2302

Припоминается стандартная задачка на невнимательность.
Трое жильцов готовят обед на одной печи. Жилица – назовем ее для удобства Тройкиной – положила в общую печь 3 полена своих дров, жилица Пятеркина – 5 поленьев, жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 8 рублей. Как должны они поделить между собой эту плату?
Очевидный ответ - 3 и 5, правильный - 1 и 7.

lena1978

а по-моему 2 и 6

tinka2302

Вот еще один неправильный ответ
Хинт: 8 поленьев надо разделить на 3.

mich75

Угу, въехала!

mtk79

кто-то недавно запостил проблему о счетности канторовых множеств.

SVSAVIN

Первый блин комом. Задача. Пусть есть семейство подмножеств множества натуральных чисел. Известно, что для любых двух подмножеств А и Б семейства либо А содержится в Б, либо Б содержится в А, либо А и Б совпадают. Может ли семейство оказаться несчетным?Ответ "Очевидно, не может!" неверен.
Аналогичная задача:
Пусть есть семейство счетных множеств. Известно, что для любых двух множеств А и Б семейства либо А содержится в Б, либо Б содержится в А, либо А и Б совпадают. Может ли объединение всех множеств семейства оказаться несчетным?
Ответ "Очевидно, не может!" тоже неверен.

SVSAVIN

Существует ли функция f: R->R, такая, что для любых x и y верно f(x+y)=f(x)+f(y не являющаяся линейной?
Ответ: существует!

tinka2302

Ну тут как раз очевидно, что существует, если задуматься хоть на минуту
З.Ы. Хотя тут я кажется поторопился

SVSAVIN

но пример не так-то просто построить

SVSAVIN

Классика жанра.
Все лошади одной масти - доказательство по индукции.
Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции верна. Для индуктивного перехода предположим, что есть n лошадей (с номерами от 1 до n). По индуктивному предположению лошади с номерами от 1 до n - 1 одинаковой масти. Аналогично лошади с номерами от 2 до n также имеют одинаковую масть. Но лошади с номерами от 2 до n - 1 не могут менять свою масть в зависимости от того как они сгруппированы — это лошади, а не хамелеоны. Поэтому все n лошадей должны быть одинаковой масти.

tinka2302

Но вообще конечно задачи на функции и множества я бы не назвал простыми.
В свое время наличие непрерывной в каждой точке, но нигде не дифференцируемой функции тоже поразило, с тех пор опасаюсь что-либо утверждать про существование функций с заданными свойствами

tinka2302

Это парадокс, а не задачка, имеющая "очевидное, но неверное" решение.
Сильно сродни парадоксам с делением на 0.
Но на полминуты задумался

chmax

это неправильное использование математической индукции
я бы назвал это софизмом (как и задачи про треугольники в первом посте)

DimQ

можно его в студию?

tinka2302

А, ты прав, это софизм.
Старею

SVSAVIN

На отрезке [0;1] каждую рациональную точку покрываем отрезком с серединой в этой точке. Верно ли, что таким образом будет покрыт весь отрезок?
Ответ: не всегда!

SVSAVIN

можно его в студию?
Долго описывать.
Но почитать можно в Верещагин,Шень "Начала теории множеств" в главе "трансфинитная индукция и базис гамеля"

Mafka11

Может немного не в тему.
Пусть есть обычный эллипс (типа x*x/a+y*y/b=1, a>b>0)
Его два фокуса расположены очевидно на оси Ox.
Афинным преобразованием(сжатие по оси Ox) переведем его в круг. Куда перейдут фокусы?

kasker

А нам в школе учитель такую задачку рассказывал: можно ли покрыть пространство попарно скрещивающимися прямыми?
Правильный ответ: можно.

DimQ

Главу прочел.
Примера там нет.

SVSAVIN

Главу прочел.Примера там нет.
...
Базис Гамеля может быть использован для построения разных экзотических примеров. Вот некоторые из них:
Теорема 27. Существует (всюду определенная) функция f:R->R, для которой f(x+y)=f(x)+f(y) при всех x и y, но которая не есть умножение на константу.
...
Или ты имеешь в виду, что там функция неконструктивно строится?

SVSAVIN

задача 115

DimQ

Ну, да.
Для того, чтобы привести пример нужно, если следовать логике Шеня, построить какой-нибудь базис Гамеля. Это малорадостно.
В задаче 115, если я правильно понимаю, предалагается строить функцию, заданную не на всех действительных числах.

SVSAVIN

заданную не на всех действительных числах
На всех! Внимательнее читай.

DimQ

Да, фи в теореме 29 на прямой.
Про задачу сейчас подумаю.

kiritsev

это неправильное использование математической индукции
да нет, просто индуктивный переход для двух не проходит, а в остальном всё верно

Priss

прикольный тред =)
сделайте плиз его обсуждаемым.

estochka

есть еще такой боян. большинство отвечает неправильно:
с самолета сбрасывают мячик, который абсолютно упруго ударяется об землю. какое ускорение он будет иметь в момент отскока

Sensor4ik

?

SVSAVIN

Колесо катится по земле, медленно останавливаясь. Какая сила действует на него в нижней точке (направление)?

estochka

да ну что ты

NHGKU2

g?

asseevdm

\infty ?

Xephon

На отрезке [0;1] каждую рациональную точку покрываем отрезком с серединой в этой точке. Верно ли, что таким образом будет покрыт весь отрезок?
Ответ: не всегда!

это просто - занумеруйте рациональные числа натуральными
и возьмите такие длины отрезков, чтобы сумма ряда была <1/2

estochka

так большинство и отвечает, потому что это вроде как очевидно. это неправильно.

estochka

что, правда бывает бесконечное ускорение ?

NHGKU2

А, точно, 2g

estochka

да

asseevdm

Бояны:
С какой скоростью должна бежать кошка, чтобы не слышать звон консервной банки у себя на хвосте?
С борта корабля до поверхности воды опущена веревочная лестница. Расстояние между ступеньками 25 см. Вода поднялась на 1 метр. Сколько ступенек затопило?
Вася живет на 3-ем этаже. Пете надо пройти ступенек вдвое больше. На каком этаже Петя?
Гусеница ползет на 70см вверх в день и за ночь на 20см скатывается. Через сколько дней она достигнет 50 см?
Про треугольник: берем точку пересечения биссектрисы с серединным перпендикуляром к противолежащей стороне. Из этой точки опускаем перпендикуляры на две другие стороны и еще соединяем ее с двумя другими вершинами. Находим кучу попарно равных отрезков и убеждаемя, что треугольник равнобедренный.

estochka

С борта корабля до поверхности воды опущена веревочная лестница. Расстояние между ступеньками 25 см. Вода поднялась на 1 метр. Сколько ступенек затопило?
0 ?
Вася живет на 3-ем этаже. Пете надо пройти ступенек вдвое больше. На каком этаже Петя?
5 ?

vvasilevskiy

Почему 2g? Вроде как в выбранной моделе-бесконечность?

NHGKU2

Вася живет на 3-ем этаже. Пете надо пройти ступенек вдвое больше. На каком этаже Петя?
Эта задачка из серии "Сколько колышков нужно вбить на расстоянии 1 м друг от друга, чтобы получился 10-метровый забор"

NHGKU2

Потому что вертикальная составляющая скорости меняет направление на противоположное.

estochka

откуда ?

v1160908

Задача для любителей функана.
Существует ли функция f:[-1;1]x[-1;1]->{0,1}, такая, что для любого x множество {y: f(x,y)=0} не более, чем счетно, и для любого y множество {x: f(x,y)=1} не более, чем счетно.
Функанойд-ламер сразу скажет, что такой функции не существует (ибо теорема Фубини).
На самом деле, на этот вопрос современная наука ответа не знает. Известно только, что существование такой функции эквивалентно континуум-гипотезе, которая независима с аксиоматикой теории множеств Цермело-Френкеля (т.е. её нельзя ни доказать, ни опровергнуть).

asseevdm

вперед?

asseevdm

А бывают абсолютно твердые тела?
А если нет, то о какой точке тела вопрос?

asseevdm

скорее тогда -2g?
Только я склоняюсь к ответу \infty. Какой у шарика будет скорость в момент отскока? 0?
А за мгновение до этого? Очень большая вниз. А через мгновение? Такая же вверх. Итого разрыв.
В чем я неправ?

asseevdm

Да

asseevdm

Дурная задача
Чему будет равна площадь прямоугольного треугольника гипотинузой 10, медианой к гипотинузе 6 и высотой 5?

lena1978

. Какой у него будет скорость в момент отскока? 0?
если так, то ответ будет другой

vvasilevskiy

Потому что вертикальная составляющая скорости меняет направление на противоположное.
За очень малое время. Это как производная от SIGN, равная двум дельтафункциям.

chmax

в прямоугольном т-ке медиана к гипотенузе = ее половине

lena1978

там неточно написано. имеется в виду ускорение сразу после отскока.

vvasilevskiy

Если сразу после отскока, то g, так как шар в свободном полете.

estochka

момент отскока - когда он еще касается земли, но уже не давит на нее

lena1978

там есть подсказка - с самолёта.
теперь точно гадать будешь до утра

vvasilevskiy

У меня такое чувство, что вы все математики и несете ахинею.

asseevdm

Извини, плохо сформулировал мысль, уже поправил.
Я и говорю, что ответ будет не -2g, и уж точно не 2g

estochka

при чом тут + и - ? по модулю

vvasilevskiy

В модели абсолютнобыстрого отскока, ускорение во всех точках кроме нижней g. В нижней точке бесконечность.

estochka

и это ты говоришь после заявления о бесконечном ускорении ?

asseevdm

Виноват, затупил. Я с тобой полностью согласен. Задача дурная.

vvasilevskiy

и это ты говоришь после заявления о бесконечном ускорении ?
В модели абсолютнобыстрого отскока, ускорение во всех точках кроме нижней g. В нижней точке бесконечность.

Или я не понимаю, что спрашивается.

estochka

пожалуй более корректно спрашивать об ускорении сразу после удара

lena1978

может еще подсказку? тока после нее ответ сразу получается.
если темплар разрешит правда.

SVSAVIN

вперед?
а хз. у физиков спросить надо. по-моему здесь важную роль играет то, что колесо, когда катится, создает некоторую ямку в земле, поэтому соприкасается с землёй не в одной точке, а по дуге, в разных точках дуги действует разная сила. в некоторых точках вперёд (проекция в некоторых-назад. чтобы затормозить поступательное движение, нужно назад, а чтобы вращательное - вперед.

vvasilevskiy


Черная линия-модель абсолютнобыстрого отскока, синяя и красная-более сложные, учитывающие упругость.
Производная от графика-ускорение, смотрите сами в какой точке вам надо ее считать.

SVSAVIN

это просто - занумеруйте рациональные числа натуральными
и возьмите такие длины отрезков, чтобы сумма ряда была <1/2
А можно просто каждую точку x накрыть отрезком длины |x-a|, где a-некоторое иррациональное число от 0 до 1. Тогда a не будет покрыто.

vvasilevskiy

Сила трения качения, направлена почти вверх (или трение качение это ее проекция, а остальное просто сила реакции, не помню с небольшим уклоном назад. Возникает из-за деформации поверхности, колесо как бы делает перед собой валик, через который постоянно перекатывается. Если оно останавливается медленно, то сила с большой точностью направленна вверх. Так как эта сила приложена не в нижней точке колеса, а чуть впереди, то напрвление ее приложения проходит над центром колеса=> момент ее тормозит колесо.

_mrz

Виноват, затупил. Я с тобой полностью согласен. Задача дурная.
Задача тупая, потому что неправильно сформулирована. Людям которые вот так через задницу формулируют задачи на олимпиадах надо яйца отрезать.

с самолета сбрасывают мячик, который абсолютно упруго ударяется об землю. какое ускорение он будет иметь в момент отскока
Правильная формулировка: шарик сбрасывают с самолета (т.е. очень большой высоты) строго вертикально (т.е. перпендикулярно неподвижной поверхности). Какое его ускорение сразу после [уж конечно не "в момент"] абсолютно упругого соударения с абсолютно горизонтальной поверхностью земли? Ответ: 2g направленное вниз.

estochka

согласен, что с моментом отскока подъебал. ключевые слова "сразу после"

vvasilevskiy

А можно причину, по которой 2g?

lena1978

посчитай ускорение ПЕРЕД ударом

vvasilevskiy

Как?

lena1978

по твоему, до удара какое было ускорение?

vvasilevskiy

g

lena1978

а у парашютиста?

vvasilevskiy

У парашютиста до удара 0

estochka

далее следует ключевое слово "с самолета"

vvasilevskiy

Обман понял. Мое мнение-говнозадача. Если четко не указать условия хер додумаешься, а если сказать, что надо учитывать воздух, то сразу все понятно.

vvasilevskiy

ключевое слово "с самолета"
Слово с самолета, само по себе модель не задает. Надо говорить сразу о сопротивлении воздуха.
PS А я еще вот о чем подумал, шарик увлекает за собой воздух, а потом в него же отскакивает, тогда ускорение больше чем 2g
Говнозадача.

estochka

вобще по идее он как раз должен образовывать воздушный коридор

vvasilevskiy

Или так, тогда меньше чем 2g

_mrz

это неправильное использование математической индукции
да нет, просто индуктивный переход для двух не проходит, а в остальном всё верно
прикалываешься или правда так считаешь?

estochka

еще вдогонку, но это уже мегабоян. есть 2 одинаковых шарика. сбрасываются с одинаковой высоты. 1й без начальной скорости, 2му придают некоторую скорость, направленную горизонтально. кто упадет быстрее ?

lena1978

ух, такого не слышал. силу Кориолиса учитывать?

estochka

лучше не надо. нам в школе даже эксперимент показывали этот )
upd: ну и чтоб народ не орал, на сопротивление воздуха и нелинейность пространства-времени забиваем

natunchik

Если на сопротивление воздуха забить, тогда одновременно, не правда ли?
Если на сопротивление воздуха не забивать, тогда зависит от вида зависимости силы трения от скорости: если линейная, то всё равно одновременно, если выше - то раньше упадёт тот, который летит вертикально.
В чём йумар?

estochka

йумар бывает когда народ говорит что тот, что без начальной скорости - быстрее. типа он летит вниз, а другой - сначала вбок.

Alexx13

-1=i^2=sqrt(-1) * sqrt(-1)=sqrt-1) * (-1=sqrt(1)=1

kachokslava

да, который вниз - быстрее. потому что если придать "значительный" горизонтальный импульс, то он может вообще не упасть.
кривизну земной поверхности никто не отменял.

estochka

улетит в космас )

v1160908

Ещё боян.
Существует ли непрерывная линия на плоскости, покрывающая всю плоскость?
Ответ: существует

Alexx13

\\ Существует ли непрерывная линия на плоскости, покрывающая всю плоскость?
Ответ: существует
нетривиально что такое линия? - интуитивно, линия - это "длина без ширины", и она не имеет площади (точнее, её площадь равна нулю); линия на плоскости (или в пространстве) - это "замкнутое связное множество размерности единица по урысОну"; это определение полностью соответствует интуиции; такая линия не имеет площади; значит, не существует линии, покрвающей плоскость
если взять жорданову линию: линия - это непрерывное отображение отрезка в плоскость, то видимо да, существует (так как жорданову линию можно провести через все точки квадрата)

v1160908

нетривиально что такое линия? - интуитивно, линия - это "длина без ширины", и она не имеет площади (точнее, её площадь равна нулю); линия на плоскости (или в пространстве) - это "замкнутое связное множество размерности единица по урысОну"; это определение полностью соответствует интуиции; такая линия не имеет площади; значит, не существует линии, покрвающей плоскость
если взять жорданову линию: линия - это непрерывное отображение отрезка в плоскость, то видимо да, существует (так как жорданову линию можно провести через все точки квадрата)
Извращенцы вы все!
Линия - это (x(t); y(t где x(t y(t) - непрерывные всюду определенные функции вещественного аргумента. Покрывает плоскость - это значит, что для любых x0, y0 существует t: x(t)=x0, y(t)=y0.
жорданова линия...

Alexx13

Покрывает плоскость
именно поэтому жордановы линии не удовлетворили человечество (потому что некоторые из них имели ненулевую площадь и даже могли совпадать с двумерным квадратом, не говоря уже о всей плосксти)
после евклида и жордана над определением линии ботали пеано, кантор, серпинский; и наконец урысОн выработал удовлетворительный дефинишен (т.е., вербально объяснил слова евклида "линия есть длина без ширины и не имеет ни площади, ни объёма") и закрыл вопрос, чем заслужил похвалу гильберта: т.о. 20 век исчерпывающе ответил что такое линия; правда, лакатос утверждает, что всё равно нестрого и не может быть строго в принципе, т.о., ботаника бессмертна (но не вечна, по платону)

Alexx13

кстати, философская загадка (= задачка):
"душа бессмертна, но не вечна" (платон) - это как?
неправильное решение: филосня бред сивой кобылы
правильное решение: .... (пишите ваше имхо)

avgustinka

Аналогичная задача:
Пусть есть семейство счетных множеств. Известно, что для любых двух множеств А и Б семейства либо А содержится в Б, либо Б содержится в А, либо А и Б совпадают. Может ли объединение всех множеств семейства оказаться несчетным?
Ответ "Очевидно, не может!" тоже неверен.
Я правильно понимаю, что конструктивного контрпримера на эту задачу не бывает?

SVSAVIN

Конструктивного скорее всего не бывает.
Такие несчетные множества бывают только мощности алеф1, а науке даже не известно, что это за мощность такая (континуум или нет).

assasin

Вспомнилась простенькая олимпиадная задачка:
Вася и Петя играют в следующую игру на ленте размера 1*100000 клеток. Вася за ход ставит 2 крестика, Петя может стереть любое кол-во крестиков, идущих подряд.Цель Васи - получить 16 крестиков подряд. Сможет ли Вася выиграть при любой игре Пети?
Когда-то ответ "нет" казался мне очевидным. Правда сейчас мне (почти) очевидным кажется ответ "да".
З.Ы. На ленте 1*10000 ответ "нет" верный (нет, это я погорячился)

assasin

Сущ-вует ли функция на R, которая на любом интервале принимает все действительные значения?
Ответ: да.

assasin

Можно ли выбрать континуум (различных) подмножеств натурального ряда, пересечение любых двух из которых конечно?
Не знаю, насколько ответ "нет" кажется или не кажется очевидным, но если слово "конечно" заменить на "не более чем k-элементно", то ответ "нет", конечно, верен.

kachokslava

есть подозрения, что на ленте длиной 65535 ответ "нет" верный, а на 65536 уже ответ "да"

SVSAVIN

Можно ли выбрать континуум (различных) подмножеств натурального ряда, пересечение любых двух из которых конечно?Не знаю, насколько ответ "нет" кажется или не кажется очевидным, но если слово "конечно" заменить на "не более чем k-элементно", то ответ "нет", конечно, верен.
отличная задачка!

a101

Есть подозрение, что если бы я был Васей, мне бы хватило длины 16387

a101

Кроме того, если я не ошибаюсь, то бытует мнеиие, которое не только я разделяю, что Вася мог бы выиграть и на полоске длины 1039, если бы не забыл подумать перед игрой.

Может, конечно, полоску еще можно уменьшить, но мне лень .

Shini

Что за фигня - у меня было три поста в этом треде, только один про самолет. При этом их все перенесли в тред про самолет. Непорядок.

assasin

Пример взят из книжки Литтлвуда "Математич. смесь."(советую почитать)
Задачка:На круглой арене находятся лев и человек, их максимальные скорости одинаковы. Как должен действовать лев, чтобы обеспечить себе трапезу?
Многих удовлетворило решение:L(лев) всё время должен быть на радиусе OM(О-центр арены,М-человек).
Оказалось, что это решение неверно, более того, человек может избежать поимки.

zuzaka

была и более жесткая задача. заяц бегает по окружности, а волк по кругу. скорости одинаковы. какие у них должны быть тактики и будет ли съеден заяц (Ответа я не помню. Это задача с московской математической олимпиады класс за 9 или 10)

aryabova

заец, RIP

aryabova

фиг вам, заяц не дурак
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: