Условное мат.ожидание

stream_24

Случайная величина [math][res=100]{\begin{equation*} \xi:=\xi(\omega)=\omega\end{equation*}} [/math] задана на [math][res=100]{\begin{equation*} (\Omega=[0,1], F)\end{equation*}} [/math], где [math][res=100]{\begin{equation*} F \end{equation*}} [/math] - борелевская сигма-алгебра.
Требуется найти условное математическое ожидание [math][res=100]{\begin{equation*} \eta:=\eta(\omega)=E[\xi|G]\end{equation*}} [/math], где [math] [res=100]{\begin{equation*} G=\sigma(A_1, A_2, ...)\end{equation*}} [/math] - минимальная сигма-алгебра, содержащая все множества [math] [res=100]{\begin{equation*} A_k = [1-\frac{1}{2k},1], k\geq1\end{equation*}} [/math].

sverum

Меру забыл.

stream_24

Мера Лебега.

sverum

Ну вот, теперь тебе осталось понять определение условного математического ожидания и решить эту очень простую задачу. :)

stream_24

Спасибо!

TARZAN

не знаю как тут математическими терминами записать,но это выглядит так в техе:
$$
\eta=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{I}_{A_i}\cdot\mathbb{E}\cdot(\xi\mathbb{I}_{A_i})\frac1{\mu(A_i)},
A_i=(1-\frac1{2i},1-\frac1{2i-2}],i\geq2
A_1=(\frac12,1]
$$
где
$\mathbb{I}_{A_i}$ - индикатор множества $A_i$,$\mu$-мера Лебега.
В нуле можно определить как угодно,его мера 0,

stream_24


не знаю как тут математическими терминами записать,но это выглядит так в техе:
$$
\eta=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{I}_{A_i}\cdot\mathbb{E}\cdot(\xi\mathbb{I}_{A_i})\frac1{\mu(A_i)},
A_i=(1-\frac1{2i},1-\frac1{2i-2}],i\geq2
A_1=(\frac12,1]
$$
где
$\mathbb{I}_{A_i}$ - индикатор множества $A_i$,$\mu$-мера Лебега. В нуле можно определить как угодно,его мера 0,
в форуме:
[math][res=100]{\begin{equation*}   \eta=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{I}_{A_i}\cdot\mathbb{E}\cdot(\xi\mathbb{I}_{A_i})\frac1{\mu(A_i)},  \end{equation*}} [/math]
[math][res=100]{\begin{equation*}   A_i=(1-\frac1{2i},1-\frac1{2i-2}],i\geq2, A_1=(\frac12,1]  \end{equation*}} [/math], где
[math][res=100]{\begin{equation*} \mathbb{I}_{A_i}\end{equation*}} [/math] - индикатор множества [math][res=100]{\begin{equation*} A_i\end{equation*}} [/math], [math][res=100]{\begin{equation*} \mu \end{equation*}} [/math]-мера Лебега. В нуле можно определить как угодно,его мера 0.

sverum

В нуле можно определить как угодно,его мера 0,
Нет, нельзя.

TARZAN

Условное математическое ожидание определено почти наверное.Мера Лебега от {0} ноль,поэтому говорим,что там случайная величина 0 и радуемся

sverum

Условное математическое ожидание определено почти наверное.Мера Лебега от {0} ноль,поэтому говорим,что там случайная величина 0 и радуемся
Давай поспорим на сок, что ты неправ?

TARZAN

Были исправлены ошибки маленькие и подведены вычисления
$$
\eta=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{I}_{A_i}\cdot(1-\frac1{4i(i+1)})+\mathbb{I}_{A_0}*\frac12,
A_i=(1-\frac1{2i},1-\frac1{2i+2}],i\geq1
A_0=[0,\frac12]
$$
А ты не прав,Так как по определению условное матожидание определено почти наверное,мера 0 равна 0.Или где я не прав?

viri

Другими словами, сигма-алгебра имеет простой вид: отрезок [0,1] представляется в виде счетного объединения непересекающихся отрезков A_k\A_(k+1 а сигма-алгебра состоит из всевозможных, в том числе счетных, объединений этих отрезков. Значит, искомая с.в. постоянна на каждом отрезке A_k\A_(k+1 и высота ступеньки определяется так, чтобы площадь под ней равнялась площади под графиком y=x по этому отрезку.

sverum

условное матожидание определено почти наверное,мера 0 равна 0
Ты, наверное, забыл, что условное математическое ожидание относительно сигма-алгебры G по определению есть G-измеримая случайная величина.

TARZAN

я не забыл.Только я то смотрю на пополненную случайную величину. И тогда мы можем изменить случайную величину хоть в счетном числе точек,но он останется также распределенной,как и была и уж тем более останется измеримой все по той же сигма-алгебре.

sverum

я не забыл.Только я то смотрю на пополненную случайную величину. И тогда мы можем изменить случайную величину хоть в счетном числе точек,но он останется также распределенной,как и была и уж тем более останется измеримой все по той же сигма-алгебре.
Что ты несешь? Что такое пополненная случайная величина? Где можно посмотреть определение? Ты сейчас его придумал? При чем тут вообще распределение?
И тогда мы можем изменить случайную величину хоть в счетном числе точек

Только если это множество принадлежит G.

griz_a

Ты действительно неправ. У нас есть свобода в выборе величины, являющейся условным математическим ожиданием из-за множеств нулевой меры, но любое из условных математических ожиданий измеримо относительно сигма-алгебры в условии.

TARZAN

-это не я придумал,а Колмогоров. Можешь поискать в Ширяеве, теория вероятностей. Это называется версией случайной величины. Более точный источник только потом.
P.S. Жаль не поспорили,сок проиграл :(

griz_a

Еще раз повторю тебе, ты не прав. Могу ссылку на того же Ширяева дать.
Другое дело, что ты мог сказать, что искомое условное матожидание равно описанной тобой случайной величине почти наверное :)

sverum

-это не я придумал,а Колмогоров. Можешь поискать в Ширяеве, теория вероятностей. Это называется версией случайной величины. Более точный источник только потом.
P.S. Жаль не поспорили,сок проиграл

Так давай, еще не поздно.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: