Задача по функциональному анализу

Andrey095

как вычислить преобразование Фурье для функции
f(x)=sin^2 x/(x^2-10x+34)

NHGKU2

Проблема сосчитать интеграл? Используй вычеты.

Valeryk

ну походу да. только в этом и вся проблема. подставить функцию в преобразование фурье-не должно быть сложно :)

griz_a

Традиционный способ подсчёта интеграла - выделяешь кусок от -R до R, R устремляешь к бесконечности, дополняешь отрезок верхней полуокружностью и вычитаешь интеграл по верхнему полуокружности, интеграл по отрезку и полуокружности равен 2pi умножить на вычет в полюсе 5+3i, а интеграл по полуокружности стремится к 0, т.к. функция не превосходит по модулю 1/(R^2-10R-34)

mtk79

cos(2x) на полуокружностях — это о-го-го!
Похоже, там кроме вычетов последним слагаемым будет какая-нибудь сингул. обобщ. функция

vvasilevskiy

Разбей косинус на две экспоненты, одну замкни по верхней полуплоскости, а другую по нижней, проблем не будет

vvasilevskiy

cos2x нормально берется, но сингулярность все равно будет так как sin^2x=(1-cos2x)/2 и эта 1 даст дельта ф-цию, так как функция описывающая лоренцевский контур неинтегрируемая, но тут тоже особых проблем нет

vvasilevskiy

Извиняюсь, бред написал в обоих постах, все ок как Фрау Соболева говорит, только с одним уточнением, что выбор верхней или нижней полуплоскости определяется тем какой знак мы берем в экспоненте в фурье-преобразовании (тут сколько людей столько и мнений, я предпочитаю минус)

lenmas

В прямом всегда минус берется

lenmas

Похоже, там кроме вычетов последним слагаемым будет какая-нибудь сингул. обобщ. функция
Не будет. Функция интегрируема по прямой, так что преобразование Фурье будет классическим.

mtk79

конечно. я (когда нарисовал комментарий) думал, на склейке тета-функций, может, что-то нетривиальное получится

vvasilevskiy

В прямом всегда минус берется
Я беру минус для того, чтобы сама функция представлялась в виде разложения с плюсом и два пи по этой же причине люблю ставить в разложение, а не в представление функции.
думаю, что с точки зрения математики это наиболее верный путь
Но в книжках по физике я встречал всевозможные варианты, коих по крайней мере 6 получается.
А еще в последеднее время всегда беру не круговую частоту а обычную, так получается удобней особенно если БПФ в компутере делать

vvasilevskiy

А еще конечно не обязательно через вычеты считать, можно напрямую интегрируя, используя св-ва фурье преобразования.

lenmas

Физики скорее должны брать с коэффициентом 1/корень из 2*Pi и с минусом, чтобы преобразование получалось унитарным и тогда обратное преобразование (с плюсом) будет и сопряженным. По поводу задачи --- да, хорошая мысль написать
[math]  $$  \sin^2x=-1/4(e^{2ix}+e^{-2ix}-2)  $$  [/math]
Тогда понятно, что ответ будет -1/4[F(-2+w)+F(2+w)-2F(w)], где F(w) --- преобразование Фурье функции R(x)=1/(x^2-10x+34). А оно уже легко считается по лемме Жордана (если не ошибаюсь, то должно быть минус корнем из 2*Pi на вычет функции R(z)*e^{-iwz} в точке 5-3i, если w>0, и плюс корень из 2*Pi на вычет в точке 5+3i, если w<0).

vvasilevskiy

Физики скорее должны брать с коэффициентом 1/корень из 2*Pi и с минусом, чтобы преобразование получалось унитарным и тогда обратное преобразование (с плюсом) будет и сопряженным.
Мне понятие унитарного преобразования в работе не требуется. Как радиофизику Фурье преобразование требуется очень часто чтобы связывать частотные и временные характеристики процессов. Или пространственные спектры с пространственныем распределением. А тут действительно кому как удобнее, т.е строгость или симметричность особенно не требуется. Потому как связываются характеристики с разными размерностями. В таком свете симметричное преобразование с круговой частотой-самое неудобное
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: