Задача по физике

generals

Доброй ночи!
Что-то решил на ночь глядя на свежую голову (С) порешать задачки по физике, вспомнить молодость так сказать) И вот туплю, не могу простенькую задачку решить:
Металлический шар радиусом 10 см заряжен до потенциала
300 В. Определить потенциал этого шара, после того как его окружат
сферической проводящей оболочкой радиусом 15 см и на короткое вре-
мя соединят с ней проводником.
Собственно вопрос, как распределится заряд при соединении? Аж целых три варианта придумали и все логически обоснованы

mtk79

шапочку из фольги моделируете?

generals

Нет, наноноски :cool:
А по сути?

vtk50

Аж целых три варианта придумали и все логически обоснованы
За что люблю науку, так это за то, что в ней много правильных ответов ©ТБВ

KaterinKa

Энергия при соединении будет минимальна, если весь заряд уйдет на внешнюю оболочку.

fabio

В

generals

В ответах также)
Варианты распределения зарядов:
1) Поровну, чтобы было равновесие по количеству зарядов.
2) Так, чтобы потенциал был одинаковый и ток не тек
3) Весь перетечет на сферу, так как внутри сферы поле 0 и зарядов быть не должно (ну или поменять местами причину и следствие)
Я склоняюсь к 3-му, тем более что ответ тогда правильный, но вот с обоснованием не уверен.

fabio

)=3)

generals

Хм, наверное да.

Vlad128

поле равно нулю, значит потенциалы одинаковые :)

KaterinKa

Принцип работы электростатического генератора Ван де Граафа подскажет тебе ответ.

KaterinKa

>> 1) Поровну, чтобы было равновесие по количеству зарядов.
Нет такого закона равновесия.
>> 2) Так, чтобы потенциал был одинаковый и ток не тек
>> 3) Весь перетечет на сферу, так как внутри сферы поле 0 и зарядов быть не должно
>> (ну или поменять местами причину и следствие)
>> Я склоняюсь к 3-му, тем более что ответ тогда правильный, но вот с обоснованием не уверен.
В случаях (2) и (3) ответы одинаковы. Если весь заряд перетечет на внешеюю сферу, потенциал
везде внутри нее будет одинаков. В том числе, потенциал сферы будет равен потенциалу шара.

Mausoleum

Определить потенциал этого шара, после того как его окружатсферической проводящей оболочкой радиусом 15 см и на короткое вре-мя соединят с ней проводником.
Заряда на шаре (внутри сферы) не останется вообще. Обоснований этого утверждения несколько; мне нравится следующее.
Допустим, есть заряд на шаре, тогда найдется и силовая линия, которая из шара (из этого заряда) выходит (не ограничивая общности, будем считать, что выходит, хотя рассуждение то же и для отрицательного заряда). Пройдем по этой силовой линии, она воткнется либо в сферу, либо в шар. Далее будем гонять заряд по замкнутому контуру, состоящему из этой силовой линии и далее возврата по металлу (в котором напряженность нулевая) в исходную точку. Возможно, через перемычку, если силовая линия "закончилась" на сфере. Получаем замкнутый контур, работа по которому не равна нулю, чего не может быть.
Таким образом, весь заряд будет на внешней сфере.

araukaria777

Далее будем гонять заряд по замкнутому контуру, состоящему из этой силовой линии и...
может я и ошибаюсь, но как ты через вакуум заряд потащишь?

Vlad128

Ну это же «мысленный заряд». По сути там говорится, что хотят посчитать циркуляцию.
Да и почему бы и не через вакуум?

araukaria777

...посчитать циркуляцию

зачем?
самое разумное объяснение

Vlad128

это объяснение 3) => 2 у — 2) => 3)

Vlad128

да я и не против, что можно по-разному, нам в школе через теорему Гаусса (ака ф-ла Г-Остроградского) объясняли. Там главное — отсутствие поля внутри проводника. Я просто пояснил, что заряд таскать на самом деле не надо, это стандартное школьное рассуждение, заменяющее слово «циркуляция»

mtk79

короткое
я один вижу это слово?

Vlad128

думаешь после размыкания будет перераспределения заряда? Все слишком симметрично для этого имхо :)

KaterinKa

Это очень длинное и окольное объяснение того, что из равенства нулю напряженности поля внутри проводника следует, что все точки проводника будут иметь одинаковый потенциал.

mtk79

я думаю, что оно, несмотря на антинаучность, что-то да значило, как минимум в голове у задачепридумывателя. А предлагающиеся решения предполагают, что весь заряд мгновенно перераспределился исходя из гипотетического равновесия, что, очевидно, противоречит появлению слова "короткое".
Поэтому, несмотря на антинаучность термина, можно предположить, что имелось ввиду, что потенциал выровнялся (поле распространяется со скоростью 1 а заряды не успели не только перетечь (скорость движения электронов в проводнике куда меньше но и не думали даже начинать. А вот уже после размыкания предполагается, что дается большое время, и заряды перераспределятся, исходя из новой квазистатики.
Т.е. время касания [math]$$\frac{l}{c}<t \ll \frac{l}{v_{electron}}$$[/math], где l=15cm. Т.е. "короткое" — не очень-то и короткое, раз ограничено снизу.

KaterinKa

Можно оценить время перераспределения заряда, посчитав индуктивность соединяющего проводника и емкость шариков. Поскольку размеры проводников порядка 10 см, то это время будет порядка (10 см)/c, т.е. 3*10^{-10} секунды.

mtk79

заряды не умеют двигаться со скоростью c

araukaria777

E = - grad phi
E = 0 => phi везде одинаковый внутри сферы :grin: :grin: :grin:

fabio

E = - grad phi :facepalm:
2 как это у тебя потенциал бы выравнялся если заряды его и создают

araukaria777

не придирайся, подумаешь ошибся. в данном случае это не существенно

KaterinKa

Конечно не могут, но в металле электронов такая туева хуча, что для перенесения даже большого заряда им стоит лишь чуть-чуть двинуться. Поэтому при рассмотрении процессов в проводниках даже за пределами квазистатики не смотрят на движение отдельных электронов.
Если посчитать по-рабоче-крестьянски, т.е. что между сферами мгновенно появляется проводник сечением S, концентрация электронов в котором равна n, то время, за которое весь заряд перетечет на внешнюю сферу, будет равно:
[math]$t=\sqrt{\frac{8\pi R^2 m}{Sne^2}}$[/math]
Здесь предполагается, что поле за время появления проводника не успеет измениться, а электроны на стыке проводника и внешней сферы будут двигаться равноускоренно под действием этого поля.
При типичных значениях [math]$S = 1\,\mbox{мм}^2$[/math], [math]$n = 10^{23}\,\mbox{см}^{-3}$[/math] будет [math]$t = 10^{-13}$[/math] секунды.
На самом деле заряд будет постепенно уменьшаться и поле будет ослабевать, эффективная масса электронов в металле отличается от массы голого электрона, нужно учитывать перераспределение поля в проводнике и т.д., но результат все равно дает представление о порядке величины времени.
P.S. И, кстати, я не считал, что заряды движутся со скоростью c. Я считал, что сфера имеет емкость C порядка 10 см, проводник имеет индуктивность L порядка 10 см, следовательно, период колебаний, которые могут установиться в такой системе, будет порядка [math]$\sqrt{LC}$[/math].

mtk79

а как в проводнике с током потенциал одинаковый, а ток течет (причем,очень медленно даже при большой силе тока)?

mtk79

я не считал, что заряды движутся со скоростью c.

Можно оценить время перераспределения заряда .... Поскольку размеры проводников порядка 10 см, то это время будет порядка (10 см)/c,
это и означает, что сами заряды текли со скоростью с.
В любом случае, вопрос ко всем решателям, что значило слово "короткий". Чем тогда ваши решения отличаются от того, что касание было долгим?

KaterinKa

Ток течет, потому что поле-таки есть. Потенциал одинаковый во всем проводнике только в электростатике.
Сами заряды должны течь со скоростью света только в том случае, если им нужно преодолеть
промежуток между шаром и сферой. А им достаточно немного сдвинуться из шара внутрь
соединяющего проводника, в то время как другие заряды на противоположном конце проводника
сдвинутся на поверхность внешней сферы.
Просто период колебаний в образовавшемся колебательной контуре по странной случайности
совпадает по порядку с временем пролета частицы, летящей со скоростью света, через систему.
"Короткое" касание написали, наверное, чтобы не заморачиваться с тем, что шарик постепенно разрядится (из-за наличия ионов в воздухе).

mtk79

время, за которое весь заряд перетечет на внешнюю сферу, будет равно:
[math]$t=\sqrt{\frac{8\pi R^2 m}{Sne^2}}$[/math]
Очень интересная формула, не зависящая от первоначальной разности потенциалов
При типичных значениях будет [math]$t = 10^{-13}$[/math] секунды.
Т.е. электроны по виртуальному проводнику длиной 10-15 см двигались в среднем быстрее с ? — Срочно в пишите об открытии!

mtk79

ни про какой воздух (да еще и ионы в нем) и разрядку в задаче не сказано. Так в любую задачу можно добавлять слово короткий, предполагая, что за длительный срок произойдет землетрясение или вырубится электричество на подстанции

Vlad128

мне кажется в данном условии «короткое» употреблено как синоним «некоторое ни большое ни малое, но и не среднее типа секунд 30 (ибо нафига именно 30?) ну типа секунд на пару хотя бы, но это примерно»

KaterinKa

От первоначальной разности потенциалов ответ не зависит, так как, с одной стороны, количество электронов, которые должны перетечь, пропорционально заряду шара, а с другой стороны, сила, действующая на электроны (и, следовательно, приобретаемая ими скорость определяется напряженностью поля, которая тоже пропорциональна заряду шара.
Электроны по проводникам движутся с весьма малой скоростью, но для передачи тока не нужно, чтобы один электрон проделывал весь путь из начала в конец проводника. Равно как для того, чтобы у меня из крана потекла вода через 0.1 секунды после его открытия, не нужно, чтобы за 0.1 секунды эта вода проделала путь от скважины до крана.

KaterinKa

В любом случае, проводник, скорее всего, подсоединяли руками. Так что даже короткое время касания здесь - это минимум доли секунды.

Mausoleum

Нет. Это пояснение того, что на внутренней поверхности железяки (например, внутри сферы, на любой железяке, связанной со сферой) зарядов нет и быть не может. Как раз из-за эквипотенциальности поверхности.
То утверждение, которое ты принял за доказываемое, доказывается прямым интегрированием напряженности по любой траектории внутри проводника.
В теме до моего поста было уже полно правильных ответов, но оставались непонимающие. Я попробовал объяснить на школьном уровне сугубо для наглядности.

Mausoleum

Как тут уже заметили, время релаксации в такого рода конструкциях ничтожно. Кроме того, если система не успела придти в равновесие до момента разъединения, решать в задаче просто нечего, возможен любой ответ из довольно широкого диапазона.

KaterinKa

Эквипотенциальность поверхности проводника вовсе не требует того, чтобы на ней вообще не было зарядов. И если уж говорить о силовых линиях, то это ведь силовые линии поля. А поле создается всеми имеющимися зарядами в совокупности, что не позволяет привязать конкретную силовую линию к конкретному заряду.

mtk79

Ну, 10^{-10} c (время релаксации потенциала) и, например, 10^{-5} c — это разные ничтожности.
А, грубо говоря, время полнейшей релаксации (которая и предполагается статикой) бесконечно, поэтому я не могу согласиться с появлением слова "короткий", если описываемые решения (тем более, если рассматривать предполагающуюся задачей электронную жидкость) намекают на как раз относительно длительное время касания. Посему задачу (с которой Деер надумал освежать свои познания в скалярных потенциалах) можно также отнести к семейству "лососевых"

Sergey79

У Пети было два яблока. Через короткое время ему дали еще два яблока. Дети, сколько яблок стало у Пети?

mtk79

если время — короткое по сравнению с временем жизни Пети (1672 — 1725 но большое по сравнению с периодом полураспада яблока — то 2, а если короткое по сравнению с временем жизни яблока (1679 — 1679) — то 4. Первые два яблока предполагались неотравленными.

Lene81

это и означает, что сами заряды текли со скоростью с.
Со скоростью c течет "команда к движению". Представь себе длинную цепь солдат, которые заходят в казарму. Стоящий последним сержант командует "шагом марш"! И солдаты все одновременно делают шаг вперед (очевидно, команда движется со скоростью звука) и первый солдат проходит в ворота казармы сразу же, как до него долетел звук, а не когда до него дошагал командир.

Mausoleum

Эквипотенциальность поверхности проводника вовсе не требует того, чтобы на ней вообще не было зарядов. И если уж говорить о силовых линиях, то это ведь силовые линии поля. А поле создается всеми имеющимися зарядами в совокупности, что не позволяет привязать конкретную силовую линию к конкретному заряду.
Эквипотенциальность поверхности проводника будет требовать того, чтобы на ней вообще не было зарядов, если у нее отрицательная кривизна, есличо. На поверхности металлической полости в электростатике заряда быть не может.
Далее, если на поверхности проводника ненулевая плотность заряда в точке, то и силовую линию оттуда можно будет всегда нарисовать, т.к. с той стороны от поверхности, где вакуум, напряженность поля как раз будет отличной от нуля и даже пропорциональной этой самой плотности заряда. Знаком вообще с понятием "силовая линия", школьным таким?

fabio

>На поверхности металлической полости в электростатике заряда быть не может.
:facetable:
обоснуй, а если внутри полости заряд ?

araukaria777

...Посему задачу (с которой Деер надумал освежать свои познания в скалярных потенциалах) можно также отнести к семейству "лососевых"
в этом уже давно никто не сомневается

Mausoleum

обоснуй, а если внутри полости заряд ?
Условие читал? Естественно, при отсутствии заряда вне железяки.

KaterinKa

>> Эквипотенциальность поверхности проводника будет требовать того, чтобы на ней вообще
>> не было зарядов, если у нее отрицательная кривизна, есличо.
Довольно сильное утверждение. Не могу согласиться. Представь себе проводник в форме тора, допустим. У его поверхности всюду отрицательная кривизна, однако если тор заряжен в целом, то заряд на поверхности все-таки будет.
>> если на поверхности проводника ненулевая плотность заряда в точке, то и силовую линию
>> оттуда можно будет всегда нарисовать
С этим я согласен. Ранее ты говорил не по "ненулевую плотность заряда", а про "заряд".
Объяснение того, что в полости внутри проводника нет зарядов, можно было бы написать более ясно. Например, последовательно в три этапа:
1) в электростатике внутри проводника потенциал всюду одинаков (т.е. напряженность поля всюду равна нулю) - так как при наличии разности потенциалов в двух точках между этими двумя точками потечет ток;
2) потенциал одинаков не только в самом проводнике, но и внутри любой полости, окруженной со всех сторон проводником (соответственно, напряженность поля в полости равна нулю). Доказать можно так:
Допустим, что внутри полости в некоторой точке отлична от нуля напряженность поля. Значит, в этой точке существует силовая линия поля, которая должна как-то продолжаться в обе стороны. Эта линия в конце концов либо замкнется (что противоречит потенциальности поля - ну или работа поля по замкнутому контуру будет отлична от нуля либо упрется обоими концами в проводник (что будет равнозначно наличию разности потенциалов между двумя точками проводника). Оба варианта не могут осуществляться, следовательно, поле будет равно нулю всюду внутри полости.
3) если в некоторой точке внутри проводника, или на поверхности полости внутри проводника, или еще где-либо, где должна быть равна нулю напряженность поля, существует ненулевая плотность заряда, то достаточно близко от этой точки вклад этой точки в суммарную напряженность поля будет доминировать над всеми остальными. Следовательно, где-то рядом с этой точкой напряженность поля будет ненулевой, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, в толще проводника и на поверхности любой полости внутри проводника зарядов не будет.

Mausoleum

Не могу не отметить пассаж про всюду отрицательную кривизну тора (тор удивлен а в остальном вроде консенсус.

KaterinKa

Окей, гауссова кривизна поверхности тора отрицательна только с внутренней стороны.
Но представь себе проводник в форме, например, сердечка.
На его нижнем острие заряда скопится побольше, а на провале вверху заряда будет меньше. Возможно даже, что будет отрицательная плотность заряда - в любом случае, заряд распределится по поверхности так, чтобы обеспечить эквипотенциальность. На более выпуклых частях будет плотность больше, на вогнутых - меньше.
Ты имел в виду, видимо, внутренние поверхности, т.е. поверхности полости, а не поверхности отрицательной кривизны.

araukaria777

если в некоторой точке внутри проводника, или на поверхности полости внутри проводника, или еще где-либо, где должна быть равна нулю напряженность поля, существует ненулевая плотность заряда...

скачок плотности?
разве такое бывает в реальных проводниках?

KaterinKa

Здесь говорится о том, что плотность заряда отлична от нуля в некоторой точке. В соседних точках она тоже может быть отлична от нуля.
Тут удобнее объяснить так, что если в некотором физически бесконечно малом объеме есть ненулевой заряд, то, окружив этот объем поверхностью, мы получим ненулевой поток электрического поля через нее, а значит, и само поле ненулевое, чего быть не может.
А для школьников, наверное, удобнее будет объяснить так, как предложил :
если на какой-то точке поверхности проводника есть поверхностная плотность заряда [math]$\sigma$[/math] , то бесконечно близко к этой точке поле будет равно [math]$E=2\pi\sigma$[/math] (школьники это вроде должны знать). Про поверхность идет речь потому, что только внутренняя поверхность полости в проводнике является спорной по части наличия зарядов.
В реальных системах, конечно, скачков плотности не бывает, но обычно, например, в электростатике считают, что заряд есть только на поверхности проводника (т.е. если [math]$z$[/math] — координата вдоль нормали к поверхности, то плотность будет пропорциональна чему-то типа [math]$\delta(z)$[/math] , что, конечно, является идеализацией).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: