Задача с олимпиады по математике за 6 класс

tester1

Из 239 неотличимых на вид монет две - одинаковые фальшивые, а остальные - одинаковые настоящие, отличающиеся от фальшивых по весу. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выяснить, какая монета тяжелее: фальшивая или настоящая? При этом сами эти монеты находить не нужно.

Yakoffsax

хотел предложить отобрать 2 монеты, остаток разделить на 3 кучки и взвесить парами 1 и 2, 2 и 3, 1 и 3, но там однозначного ответа как-то не получается =(

ruslan80

239
Число говорит само за себя.

Vlad128

Тут да, докрутил идею джастроллинга: откладываем в сторону, но только пять штук, остальные делим на три равные кучки. (пять отложили, чтобы в кучках было четное количество, дальше будет ясно, зачем).
Дальше такое замечание: все три разной массы быть не могут, доказывается легко.
Значит возможны два варианта: все три одинаковые либо две одинаковые (по весу) и одна от них отличается в большую или меньшую сторону.
Эти два варианта различаются за два взвешивания: например 1 > 2, 1 = 3, значит 2 > 3.
Либо 1 = 2, 1 = 3, значит 2 = 3, или 1 > 2, 1 > 3, значит 2 = 3 (!).
В случае если все три одинаковые, то фальшивки среди пяти отложенных, взвешиваем их (5) против любых пяти из кучек и определяем ответ.
Пусть далее ситуация 1 = 2, 3 > 1, 3 > 2. Тут либо одна или две фальшивки в кучке 3 (и они тяжелее либо по одной в 1 и 2 (и они легче). Здесь делим группу 1 пополам (там четное число монеток). И взвешиваем. Если равенство, то в группе 1 нету фальшивки, значит фальшивка есть в группе 3 и фальшивка тяжелее. Если неравенство, то в группе 1 одна фальшивка, еще одна в 2, а в третьей все настоящие и фальшивки легче.
Как-то так, видно, что запас тут болшой, можно было и не 5 отложить, а 11, тоже сработало бы.
Чувствую, что можно легче :D

kukuev

Эти два варианта различаются за два взвешивания: например 1 > 2, 2 = 3, значит 1 > 3.
Так это же не конец рассуждения.
1>3, 2=3 значит:
или в первой кучке две(или одна, а вторая среди пяти отложенных) тяжёлые фальшивые монетки
или во второй и третьей кучке по одной лёгкой фальшивой монетке
Чего дальше то делать, чтоб ответить на вопрос топикстартера?

Vlad128

Так это же не конец рассуждения.
o_O это и не конец моего сообщения
Чего дальше то делать, чтоб ответить на вопрос топикстартера?
у меня все написано: поделить пополам вторую (или третью) и взвесить.

kukuev

А и правда, у меня весь пост на экран не влез. :)

Vlad128

весь пост на экран не влез.
:facepalm:

blackout

Разбиваем на 119, 119 и 1. Взвешиваем 119 и 119.
-Если они не равны, то оставшаяся монета фальшивая и за два взвешивания мы определяем, легче она или тяжелее.
-Если они равны, то оставшаяся монета настоящая. Добавляем ее в кучку из 119, получаем 120 монет, из них одна фальшивая. Делим на 3 кучки по 40 и за два взвешивания находим, что надо.

Sergey79

-Если они не равны, то оставшаяся монета фальшивая
:confused:

fhfoihjkjhgjy

Решение:
  Разбиваем на кучки 30, 30, 60 и 119
Взвешивание 1. 30 и 30.
Взвешивание 2. 30+30 и 60
Взвешивание 3. 30+30+60, Убираем 1 монету из любой 30-ки и взвешиваем со 119 (или по 60 - см. Вариант 3.)
Всего будет 4 варианта развития событий:
Вариант 1. 30=30 и 30+30=60
Это значит, что все монеты в этих кучках настоящие. Тогда последнее взвешивание покажет, какая из монет тяжелее.
Вариант 2. 30=30, но 30+30 не равно 60.
В этом случае возможны подварианты
Вариант 2.1. В каждой из 30 монет по 1 фальшивой. Тогда после убирания 1 монеты мы точно имеем в кучке 30+30+60 фальш. Тогда оставшиеся 119 монет настоящие, и последнее взвешивание нам все покажет.
Вариант 2.2. В каждой из кучек по 30 монеты настоящие, а обе фальшивки в 60 монетах.
Последнее взвешивание нам покажет, что тяжелее.
Т.е. в обоих этих подвариантах 119 монет (4-я кучка) настоящие. Поэтому последнее взвешивание показательно.
Вариант 2.3. В каждой из кучек по 30 монет настоящие, 1 фальшивка в 60 и 1 фальшивка в 119 монетах. В этом случае весы уравновесятся, но тогда мы знаем результат по 2-му взвешиванию.
Вариант 3. 30 не равно 30, а 30+30 = 60. Тогда в одной из кучек по 30 и в кучке по 60 точно по 1 фальше. Тогда берем кучку по 60 и взвешиваем с 60 монетами из кучки 119 (там они все настоящие)
Вариант 4. 30 не равно 30, а 30+30 не равно 60. Тогда фальш в одной из кучек по 30, а в 60 ее нет. Т.е. уже на этом взвешивании мы узнаем, какая из монет тяжелее.
Вроде больше нет вариантов.
 

blackout

Да, это решение неправильное.

sandish

или в первой кучке две(или одна, а вторая среди пяти отложенных) тяжёлые фальшивые монеткиили во второй и третьей кучке по одной лёгкой фальшивой монеткеЧего дальше то делать, чтоб ответить на вопрос топикстартера?
неважно 2 или 1. Тебе нужно сказать легче или тяжелее, а не найти

sandish

Если они не равны, то оставшаяся монета фальшивая и за два взвешивания мы определяем, легче она или тяжелее.
а если в одной из них две фальшивые монеты?

elkur

У меня вроде получилось разбиванием на кучки 119, 119 и 1.
Решение Энигмы, честно говоря, не читал. Наверное, это решение похоже на его.
 Первое взвешивание) 119 и 119. Варианты:
- Равенство, тогда в каждой большой кучке по одной фальшивой, а 1 оставшаяся - настоящая. Затем берём одну из больших кучек, например первую и добавляя к ней известную настоящую (получаем 120, одна из 119 - фальшивая и одна - настоящая). Далее, второе взвешивание с этой выбранной кучей) 60 и 60. Тут точно будет неравенство, так как точно одна фальшивая. Далее, берем, например, "легкую" кучу 60 монет. Разделяем на две по 30. Третье взвешивание) По 30 монет из этих легких 60. Если равенство, то фальшивая среди тех "тяжёлых" 60, и следовательно фальшивые монеты тяжелее. Если неравенство, то фальшивые легче, так как одна фальшивая из 119 монет в "легкой" куче 60 монет. Аналогично, если выбираем "тяжёлую" кучу 60.
- Неравенство. Значит, либо в одной из больших кучек 1 фальшивая и 1 не участвующая во взвешивании тоже фальшивая, либо в одной из больших кучек 2 фальшивые, а 1 монета не участвующая - настоящая. Далее, берем, например "тяжёлую" в данном варианте результата первого взвешивания кучу 119 монет, добавляем к ней монету, не участвующую в первом взвешивании, помечая ее каким-либо образом. Получается 120 монет. Второе взвешивание) По 60 монет из этих 120 монет. Далее,
     если равенство, то среди этих 120 либо нет фальшивых, либо их два, по одной в каждой из 60. Далее, берем одну из этих 60, делим на 2 кучи по 30 монет. Взвешиваем их. Если равенство, то фальшивых нет в этих 120. А обе фальшивые легче настоящих и находятся в "легких" 119 монетах. Если неравенство, значит в этих выбранных 120 монетах 2 фальшивые, по одной в каждой куче 60 монет и фальшивая тяжелее настоящей, так как первоначально в данном варианте была выбрана куча 119 "тяжелых" монет.
     если неравенство, то в зависимости от того в какой из куче из 60 находится "помеченная", далее: если "помеченная" среди "тяжёлых" 60, то обе фальшивые там (возможно и "помеченная" фальшива) и фальшивая тяжелее настоящей; если "помеченная" среди "легких" 60 монет, отсюда либо "помеченная" - фальшивая легкая, либо 2 фальшивые в "тяжелой" куче 60 (так как мы сначала выбрали 119 "тяжелых"). В третьем взвешивании, эту "помеченную" сравниваем с любой из остальных 59 монет из "легкой" кучи 60 монет. Если равенство, то фальшивая тяжелей настоящей и они обе в "тяжелой" куче 60 монет. Если неравенство ("помеченная" легче то "помеченная" - одна из фальшивых и легче настоящей. Аналогично, если в данном варианте первого взвешивания выбираем "легкую" кучу 119 монет.

tester1

спасибо, ребята! :)

Logon

У меня вроде получилось разбиванием на кучки 119, 119 и 1.
тоже не понял, зачем делать более сложные разбиения. :confused:

Mausoleum

тоже не понял, зачем делать более сложные разбиения
Дак ты же и задачу не решил.

Logon

Дак ты же и задачу не решил.
Почему не решил?
При разбивке все кучи на три части: 119, 119 и 1 монета задача вполне решается в три взвешивания.
Или это не так?
Просто тут решения стали записывать в слое, который я хз, как сделать - а так можно и расписать всю цепочку
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: