Недифференцируемость траекторий броуновского движения

philnau

Если f - диф-ма, то следует ли отсюда что f имеет огр. вариацию? Вопрос возник из следующего.
Док-ть то, что броуновское движение имеет бесконечную вариацию на любом отрезке - относительно легко. Можно ли отсюда сделать какой-нибудь вывод о недифференцируемости траекторий броуновского движения?

assasin

Не следует. Функция [math]$x^2\sin\frac1{x^2}$[/math] дифференцируема на [math]$\mathbb R$[/math], но не является функцией ограниченной вариации на [math]$[0;1]$[/math], например.

philnau

Да, плохо дело :(
Правда бр.движение все-таки имеет беск. вариация НА ЛЮБОМ отрезке...
Но думаю, что суть это не меняет.

Polyphem

С такой функцией в нуле проблемы же будут с производной. Нужно тогда взять x^2 sin (1/x)
2. Почему она не ограниченной вариации на [0,1]?

assasin

Если функция имеет беск. вариацию на любом отрезке, то множество точек, в которых она недифференцируема, всюду плотно. Так сходу не знаю, насколько это можно усилить.

philnau

всюду плотно
А вот можно это поподробнее? Пускай на [a,b] f диф-ма. Есби бы производная была ограничена, то просто применяем теорему Лагранжа. А если производная неограничена - что тогда?

lenmas

Твоя функция как-раз имеет ограниченную вариацию (потому что производная ограничена). А та функция, которую привел выше товарищ, все нормально, дифференцируема, с чего ты решил, что она не дифференцируема? А неограниченную вариацию она имеет на последовательности
[math]  $$  1/\sqrt{\pi/2+\pi n}.  $$  [/math]

lenmas

Категории какие-нибудь?

Polyphem

Да, я понял, все нормально с той функцией.
2. Про вариацию тоже понял, в чём фишка, спасибо.

assasin

всюду плотно
А вот можно это поподробнее? Пускай на [a,b] f диф-ма. Есби бы производная была ограничена, то просто применяем теорему Лагранжа. А если производная неограничена - что тогда?
Так в том то и дело, что если функция дифференцируема на отрезке, то существует подотрезок, на котором производная ограничена (более того, множество точек разрыва производной имеет первую категорию Бэра, но про ограниченность доказывается намного проще).

griz_a

Доказать, что броуновские траектории почти нигде не дифференцируемы несложно. Множество тех точек t отрезка [r,r+1], где они дифференцируемы, вкладывается в [math]$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}\bigcup\limits_{l=1}^{\infty} \{\forall s:|s| <1/k |W_{s+t}-W_t|<l|s|\} $[/math]
Последние множества, в свою очередь вкладываются в такие:
[math]$\{\forall s:|s| <1/k |W_{s+t}-W_t|<ls\}\subset \bigcap\limits_{n>4k} \bigcup\limits_{m=1}^{n} \{|W_t-W_{r+j/n}|<l|t-r-j/n|,j=m-1,m,m+1,m+2, |t-r-j/n|<|j-m|/n\}\subset\bigcap\limits_{n>4k}\bigcup\limits_{m=1}^{n} \{|W_{r+\frac{j+1}{n}}-W_{r+\frac{j}{n}}|<\frac{7l}{n},j=m,m+1,m+2\}  $[/math]
Попросту говоря, если дифференцируемы в точке t, то в некоторой окрестности приращение ограничено линейной функцией, тогда для любого достаточно большого n найдутся 4 подряд идущие (по числителю при фисксированном знаменателе n) рациональные точки, такие что приращение на каждом из 3 отрезков не большe C/n.
Тогда если заглянуть в то, что стоит под внешними объединениями (по ширине окрестности и коэффициенту отношения а пересечение по n оценить сверху нижним пределом, а вероятность объединения по m оценить сверху суммой вероятностей то получим
[math]$ P(\bigcap\limits_{n>4k}\bigcup\limits_{m=1}^{n}\{|W_{r+\frac{j+1}{n}}-W_{r+\frac{j}{n}}|<\frac{7l}{n},j=m,m+1,m+2\})\leq \liminf\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{m=1}^{n} P(|W_{r+\frac{j+1}{n}} - W{r+\frac{j}{n}}|<\frac{7l}{n},j=m,m+1,m+2)\leq \liminf\limits_{n\to \infty} n P^3(|W_{\frac{1}{n}}|<\frac{7l}{n})=0  $[/math]
Т.к. вероятность последняя есть [math]$O(\frac{1}{\sqrt n})$[/math], то вся эта вероятность даст 0, значит и вероятность того, что на отрезке [r,r+1] есть точка, где траектория дифференцируема равна 0

soldatiki

Э... И это у Вас называется несложно? :)
Про винеровский процесс: в курсе недифференцируемость доказывалась как-то через квадратичную вариацию. Что-то типа эта вариация для дифференцируемых функций есть о-малое от икс, а для винеровского процесса это неверно...

philnau

Ну собственно я это и имел ввиду в первом посте. Проблема в том, что
1) надо док-то недифференцируемость В КАЖДОЙ точке
2) а из конечной кв. вариации следует только недифференцируемость на отрезке (т. е. что на каждом отрезке есть точка недифференцируемости)

griz_a

То что ты говоришь - стохастическая недифференцируемость, т.е. если выбрать точку, то в ней с вероятностью 1 недифференцируема. Потраекторно это ничего не означает, а я доказывал именно потраекторно.
ПС Идейно доказательство несложное

griz_a

Давай ты определишься, что тебе все-таки нужно :) Если для любого t вероятность того, что W_t в ней дифференцируемо, то это совсем несложная задача. А если для почти всех омега что траектория ни в одной точке недифференцируема, то это совсем другая задача и ее я как раз написал

philnau

совсем другая задача и ее я как раз написал
Как раз это и было нужно :D
Просто твоё "несложно" не совпало с моим.
Кста, пойдёшь завтра?
P.S. Эх, в этой нечестной схватке тервер меня одолел. Теперь будем разбираться с этим только осенью :(
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: