Вопросы про борелевские множества на прямой

stream_24

Народ, помогите ответить на следующие вопросы:
1) верно ли, что любое (!) борелевское множество на прямой можно представить в виде не более чем счетного объединения множеств, породивших борелевскую сигма алгебру? Очень похоже на правду, но не знаю как доказать
2) верно ли, что любое борелевское множество на прямой конечной меры Лебега представляется в виде конечной (!) суммы непересекающихся множестввида <a;b>, где <a,b> - одно из множеств вида [a;b], [a;b (a;b] и (a;b)?
3) пусть на R_{+} задана пуассоновская мера (т.е. мера любого сегмента [а;b] равна разнице значений траектории пуассоновского процесса) и пусть требуется показать, что это мера любого борелевского множества (снова на прямой и снова конечной меры Лебега) имеет распределение Пуассона. Достаточно ли показать, что приведенное утверждение справедливо лишь для множеств, порождающих борелевскую сигма алгебру (т.е. всевозможных сегметов, полусегментов или интервалов - в зависимости от предложенного в курсе определения)?

topboy84

)нет
если она была порождена таким полуинтервалами [ , то отрезок нельзя получить их не более чем счетным объединением
2) нет
множество рациональных чисел так не представляется
3)не знаю точно, но думаю, что достаточно.
из того, что процесс не убывает и при сложении двух независимых пуассоновских величин складываются их параметры, то, наверное, можно читать мерой борелевского множества - пуас. случайную величину с параметром равным стандартной мере Лебега множества.(рассуждения как для обычной Лебеговой меры: мера=верхняя мера по открытым - нижняя по замкнутым. разница - мажорируется пуас случ. селичиной с параметром->0 , те разница -> 0 по вероятности; а мера открытого множества -это мера объединения интервалов - пуас. величина )

stream_24

Меняю вопросы:)
1-2) верно ли, что любое борелевское множество на прямой конечной меры Лебега представляется в виде конечной (!) суммы непересекающихся множестввида <a;b>, где <a,b> - одно из множеств вида [a;b], [a;b (a;b] и (a;b) и множества нулевой меры Лебега?
3) можно чуть подробнее?;) или расскажи, где поглядеть можно:)
Спасибо!

griz_a

-2) Множество иррациональных чисел на отрезке?
3) Это доказывается методом подходящих множеств.
Берешь множество А тех борелевских множеств, для которых это утверждение верно. Показываешь, что счетное объединение и дополнение множеств из А лежит в А. Тогда А - сигма алгебра, но она содержит все отрезки, значит содержит и минимальную сигму-алгебру, порожденную ими, т.е. это борелевская сигма-алгебра. Что и т.д.

stream_24

-2) спасибо, туплю
3) множество А это лишь интервалы, сегменты, полусегменты и их конечные объединения (!). Вот для таких множеств просто доказать требуемый в задаче факт. Но они сигма-алгеру на R_{+} не образуют. Как быть?

griz_a

Если было бы так, то это было бы неверное утверждение.
Дело обстоит вот как. Тебе надо показать, что если A1,...An... in А, то и U_{i=1..inf} Ai in A

stream_24

какое множество ты подразумевал под А?

griz_a

Рассматриваешь некоторое множество A - множество всех борелевских множеств, удовлетворяющих твоему свойству. В нем уже лежат порождающие борелевскую сигма-алгебру множества. Если показать, что для последовательности множеств из A их объединение счетное лежит в А и дополнение к множеству из А тоже в А, то получим, что А - сигма-алгебра. Значит это борелевская сигма-алгебра, т.к. она содержит все порождающие. Это называется метод подходящих множеств, о нем можно почитать, например, Ширяев, Вероятность, часть 2, параграф 3, кажется. На память могу и ошибиться
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: