О параметризации поверхностей второго порядка

Lene81

Столкнулся со следующей проблемой: нужно записать в параметрической форме уравнение поверхности второго порядка. Со многими случаями удается справиться —
сфера (большие буквы — константы, малые — параметры):
[math]  \begin{eqnarray*}  x &=& R \cos(\phi) \sin(\theta\\  y  &=&  R \sin(\phi) \sin(\theta\\  z &=&  R \cos(\theta)  \end{eqnarray*}  [/math]
однополостный гиперболоид
[math]  \begin{eqnarray*}  x &=& R \cos(\phi) \cosh(\theta\\  y  &=&  R \sin(\phi) \cosh(\theta\\  z &=&  R \sinh(\theta)  \end{eqnarray*}  [/math]
цилиндр
[math]  \begin{eqnarray*}  x &=& R \cos(\phi\\  y  &=&  R \sin(\phi\\  z &=&  h  \end{eqnarray*}  [/math]
Ну и так далее.
Вопрос состоит вот в чем: а как глобально, т.е. единственной тройкой соотношений типа приведенных выше и зависящих от пары параметров параметризовать двухполостный гиперболоид ? У меня что-то не получается... Это вообще возможно?

kachokslava

Попробуй через комплексные числа выразить

DarkDimazzz

sinh и cosh поменяй местами - будет двухполостный, если не ошибаюсь

Lene81

sinh и cosh поменяй местами - будет двухполостный, если не ошибаюсь
Будет одна половинка двухполостного, в этом и проблема!

afony

В чем проблема непонятно. Если ты хочешь, чтобы параметризация была непрерывной и со связной областью определения, то ничего не выйдет - образ ведь не связен. А если тебе не важна связность области определения параметра - то отдельно параметризуй каждую из частей гиперболойда, как тебе посоветовали, только потом для одной части считай, что фи изменяется от 0 до 2 пи, а в другой - например от 4 пи до 6 пи.

Lene81

Хорошо, спрашиваю на понятном языке: связность — топологическое свойство (сохраняется при непрерывном отображении)? Если "да", вопрос снят — такая параметризация невозможна. Хорошо бы ссылочку на теорему дать (и где ее посмотреть).

afony

То, что яндекс прописал: ссылка.

Lene81

thnx! Нужное утверждение нашел.

DarkDimazzz

для одной части считай, что фи изменяется от 0 до 2 пи, а в другой - например от 4 пи до 6 пи
Лучше домножить z на [math] $\rm sign(\theta)$ [/math], потому что на самом деле без этого будет дважды рисоваться одна и та же половина гиперболоида. Тогда, правда, выкалываются точки [math] ${0,0,\pm R}$ [/math]. Другой вариант - поставить [math] $\rm sign(\phi)$ [/math] и менять [math] $\phi$ [/math] в пределах от [math] $-\pi$ [/math] до [math] $\pi$ [/math], но это хуже (проблемы с непрерывностью).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: