Как решить уравнение

Stayseek

Найти фундаментальное решение оператора, соотв. след уравнению
[math]$$u_{xx}+u_{yy}=2u_z+u_t$$[/math]
Перешел слева к полярным координатам, справа к одной производной. Т.к. от поворота Лаплас не зависит, получил следующее
[math]$$u_{RR}+\frac{1}{R}u_R=u_{\xi}$$[/math]
Дальше не получается, помогите пожалуйста

BSCurt

Если справа перейти к одной производной то получится уравнение теплопроводности, ага.

Stayseek

А поподробнее можно? Как от второго слагаемого избавиться?

BSCurt

Имелось в виду, что уравнение можно привести к виду [math] $u_{xx}+u_{yy}=u_{s}$[/math] т.е. получить уравнение теплопроводности, но беда в том, но что-то меня стопорит на том что получить фундаментальное решение исходного уравнения так видимо не получится.

Stayseek

А нельзя вместо [math]$$s$$[/math] в фунд. решении просто подставить исходные переменные?

KaterinKa

[math]$$u(x,y,z,t)=\frac5{4\pi(t+2z)}\exp\left\{-\frac{5(x^2+y^2)}{4(t+2z)}\right\}$$[/math]
Это если фундаментальное решение распространяется из начала координат.
Если из точки [math]$(x_0,y_0,z_0,t_0)$[/math] — то сдвигаешь в формуле все координаты и время на соответствующие величины.

BSCurt

Вот меня как раз с этим и переклинило, когда мы подставим это решение в уравнение мы получим дельта функцию "размазанную" по прямой x=0,y=0, t+2z=0, разве нет?

Stayseek

Ага, спасибо!

KaterinKa

Возможно, так что топикстартеру рано говорить мне спасибо.

KaterinKa

Да и вообще вопрос — удастся ли с таким уравнением получить дельта-функцию, не размазанную по прямой?
Еще вопрос в том, что именно за оператор имеется в виду в начальном посте.
Я, если честно, просто тупо взял гаусс, как учили, а о расположении дельта-функции не подумал.

BSCurt

что именно за оператор имеется в виду в начальном посте.
Я, если честно, просто тупо взял гаусс, как учили, а о расположении дельта-функции не подумал.
оператор в смысле, если перекинуть все в левую часть и убрать знак равенства то получится линейный оператор.
Да у меня такой же ход мыслей был пока не начали одолевать сомнения.

KaterinKa

А если не все перекинуть в левую часть?

Stayseek

Оператор в условии действительно такой, как если все перекинуть влево

KaterinKa

Я понял — нужно умножить решение на дельта-функцию от 0.5(z-z0)-(t-t0) — переменной, ортогональной 2z+t и отмасштабированной для сохранения элемента объема.
Комбинация дифференцирований по z и t в уравнении на эту переменную не будет действовать.

Ruffneck

Спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: