(развлекалово) Разложить многочлены на множители

forester_200

Разумеется, без использования техники.
Первый: [math]$x^5+x+1$[/math]
Второй: [math]$x^{10}+x^5+1$[/math]
Задание состоит в том, чтобы разбить хотя бы на два нетривиальных множителя с действительными коэффициентами.
Коллега, сообщивший задачи, утверждал, что тот, кто сообщил ему первую задачу, утверждал, что автором, популяризатором и ценителем этой задачи являлся Сам А.Н.Колмогоров.
Решения есть, но вторую решил весьма громоздко, может быть, кому-то придёт в голову более изящное решение.

toxin

[math]$x^{15}-1=(x^5-1x^{10}+x^{5}+1)$[/math], с другой стороны [math]$x^{15}-1$[/math] делится на [math]$x^3-1$[/math].

toxin

Первая решается если попробовать формы (x^2+ax+1x^3+bx^2+cx+1) и (x^2+ax-1x^3+bx^2+cx-1). Решая простую систему уравнений получаем, что подходит первая форма.

godzi

По второй - раздели на x^2+x+1

stm7543347

Я разложил, я!
[math]$$x^{10} + x^5 + 1 := (\lambda x.x^2 + x + 1) (\lambda x.x^5)$$[/math]
Куда подходить за подарками? :umnik2:

ramka

Я разложил, я!
[math]$$x^{10} + x^5 + 1 := (\lambda x.x^2 + x + 1) (\lambda x.x^5)$$[/math]
Куда подходить за подарками? :umnik2:
Ч0-то я не понял, а это что за фигня:
[math]$$(\lambda x.x^2 + x + 1) (\lambda x.x^5) \stackrel{\beta}{=} (\lambda x.x^5\lambda x.x^5) + (\lambda x.x^5) + 1 \stackrel{\beta}{=} (\lambda x.x^5\lambda x.x^5\lambda x.x^5\lambda x.x^5\lambda x.x^5) +(\lambda x.x^5)+1\stackrel{\beta}{=}\ldots$$[/math]?

lenmas

В первой можно заметить, что корень кубический из единицы является корнем, отсюда все делится на x^2+x+1 :)
А можно школьными методами x^5+x+1=x^5+x^4+x^3-(x^4+x^3+x^2)+x^2+x+1. Можно обобщить степень с 5-ой до любой 3n+2.
Но это правда скорее всего зная решение. Найти прямое решение труднее :)
Во второй тоже можно заметить, что корень кубический из единицы подходит с теми же выводами :)

FieryRush

Окей, задача понятна, но в чем тут развлекалово?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: