[дифгем] вопрос про ориентируемость многообразий

vtdom79

Подскажите пожалуйста, как доказать, что многообразие всех ортогональных матриц O(n) ориентируемо? Как доказать, что ориентируемы и другие известные группы матриц - GL(n SO(n U(n SU(n) ? Есть ли какой-нибудь стандартный подход для доказательства ориентируемости?

blackout

Гиперповерхность всегда ориентируема, а SO(n SU(n) - гиперповерхности, U(n) - пара гиперповерхностей, а GL(n) вообще имеет коразмерность 0.
Можно и в лоб, наверное:
GL(n)
Координатами точки(матрицы) в любой карте будут просто n^2 элементов матрицы. Матрица Якоби перехода между любыми двумя картами будет единичной, то есть с положительным определителем.
SO(n) O(n)
Состоит из двух несвязных компонент, рассматриваем только компоненту O(n)SO(n).
Координатами точки(матрицы) в любой карте будут просто n^2-1 элементов матрицы, не считая левого верхнего (он единственным образом определяется из остальных n^2-1). Опять матрица Якоби всегда единичная.

mtk79

SO(n)
Состоит из двух несвязных компонент, рассматриваем только компоненту O(n).
как бы, наоборот

goga7152

как доказать, что многообразие всех ортогональных матриц O(3) ориентируемо? Как доказать, что ориентируемы и другие известные группы матриц - GL(n SO(n U(n SU(n) ? Есть ли какой-нибудь стандартный подход для доказательства ориентируемости?
Используйте сдвиги на группе. В частности, легко доказать более сильное утверждение: любая группа Ли параллелизуема.

antill

да, но можно ли поподробнее?

BSCurt

да, но можно ли поподробнее?
Ну казалось бы репер в касательном пространстве к единице разносится сдвигами по всей группе, что практически и является требуемым утверждением, разве не?

vtdom79

Всем спасибо за ответы, но понимания пока все равно мало. У нас в лекциях написано, что ориентируемость лучше доказывать, построив ориентирующий атлас, а неориентируемость - предъявив кривую, меняющую ориентацию при возврате к той же карте. Соответсвенно, я даже не предстваляю, как выглядят карты в ориентирующем атласе, и как выглядят функции перехода между картами. Я не понял, атлас, в случае, например, О(n состоит из одной-двух карт? Если да, то ориентируемость очевидна

BSCurt

У нас в лекциях написано, что ориентируемость лучше доказывать, построив ориентирующий атлас, а неориентируемость - предъявив кривую, меняющую ориентацию при возврате к той же карте.
Это для произвольного многообразия, а в данном случае вы работаете с группами Ли, так что проще применять их замечательные свойства.
Я не понял, атлас, в случае, например, О(n состоит из одной-двух карт?
Э-э, не уверен, мне что-то кажется что атласы для классических групп вещь довольно стремная, может быть я ошибаюсь. Но да, факт, что для GL(n) можно взять в качестве единственной крты атласа её сому. Еще ориентируемость можно показать существованием на многообразии нигде не обращающейся в нуль диф.формы степени равной размерности многообразия, для групп Ли такую форму опять же можно построить разнеся сдвигами по всей группе подходящий элемент из кокастельного пространства к единице группы.

vtdom79

Просто у нас в лекциях не рассматривалось понятие параллелизуемости, не доказывалось, что группы Ли параллелизуемы. Не рассматривалась связь ориентируемости и параллелизуемости. Группы Ли также не рассматривались (в таком виде, в каком дано определение в википедии). Можно ли доказать ориентируемость без использования этих свойств?

BSCurt

Топикастер, мне кажется, ты начинаешь испытывать наше терпение?
На гладком многообразии ориентируемость эквивалентна существованию нигде не обращающейся в ноль диф.формы старшей степени, построим такую форм на группе [math]$G$[/math].
Дана группа [math]$G, \dim G = N$[/math] и [math]$e$[/math] единичный элемент группы
возьмем [math]$\xi\in \bigwedge^N T^*_e G\simeq\mathbb{R}$[/math] такой что [math]$\xi\neq0,$[/math] обозначим [math]$l_g(h):=g h, g,h\in G$[/math], построим форму [math]$\omega$[/math] следующим образом [math]$\omega_g=l^*_{g^{-1}}(\xi)$[/math], где [math]$\omega_g$[/math] сужение формы в точке [math]$g\in G.$[/math] Как бы всё.
Если не вру доказательство такое, ну там некоторые факты надо укзать вроде того что [math]$l_g$[/math] это диффеоморфизм, но это как доказывается в одну строчку.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: