[ТЧ] Формула для простых чисел

DimQ

Приятель в заморской аспирантуре прослушал спецкурс по математике, на котором в том числе затронули асимптотику простых чисел. Затронули несколько туманно, так что у приятели возникли вопросы, оставшиеся без ответов преподавателя. Он их задал мне, а я, в свою очередь, не будучи уверенным, переадресую в форум в надежде на компетентный комментарий
 
Приятель пишет:
... Как я понял из прочитанной недавно книги ("Music of the Primes", автор – английский математик Marcus du Satoy гипотеза Римана о нулях дзета-функции имеет непосредственное отношение к расположению простых чисел на оси, которое дается функцией pi(N). Гауссов логарифмический интеграл Li(N) (\int\limits_2^N{1/\ln{t}dt} — ) дает неплохое приближение к ней (+O(\ln{N}N^0.5) — ); его относительная погрешность асимптотически стремится к нулю при увеличении N. Однако эта приближенная функция является гладкой, в то время как точная функция pi(N очевидно, ступенчатая. Чтобы получить заветную лесенку, Риман и предложил надстроить на логарифмический интеграл своеобразный ряд Фурье, частоты которого даются нулями дзета-функции; т.е. k-ая гармоника ряда есть f_k(N)=expz_k – 1/2 )*N где z_k – k-ый ноль дзета-функции. Именно по этой причине
важно, чтобы все нули лежали на критической прямой – иначе появятся экспоненциально растущие (или убывающие) гармоники. Таким образом, точная функция pi (N)=Li(N)+sum(C_k*f_k(N однако эту формулу мне пока найти не удалось – в той книге давалось лишь словесное описание.
Неужели автор обманул?!

По сути вопрос можно переформулировать так: какие известны более точные приближения \pi(x) на бесконечности в сравнении с \pi(x) = Li(x) + O(\ln{x}x^0.5) ?

DimQ

Может, кто знает?

DimQ

Она эквивалентна гипотезе Римана о нулях что ли?

chmax

помнится, на лекциях по ТЧ Галочкин Александр Иванович рассказывал, что на данный момент доказано, что
у функции Римана в области \sigma > 1 - c / (ln t)^(2/3 + \epsilon) нулей нет,
откуда следует \pi(x) = Li(x) + r(x где |r(x)| < x * exp(- (ln x)^(3/5 - \epsilon
а асимптотика \pi(x) = Li(x) + O(\ln{x}x^0.5) следует из предположения о верности гипотезы Римана

DimQ

Спасибо!
Это наилучшее известное доказанное приближение?

assasin

В тч удобнее работать не с \pi(x а с \psi(x). Для нее действительно существует формула через нетривиальные нули дзета-функции, которую можно наблюдать хотя бы в книжке Карацубы А.А."Основы аналитич.т.ч."-глава 5, параграф 3, теорема 3 (приближенное равенство) и задача 7 тут же (точное равенство). Возможно, преобразованием Абеля отсюда можно извлечь то, что требуется.
З.Ы.Если очень нада, я бы посоветовал проконсультироваться со знающими людьми. Например, зайти на кафедру матана и побеседовать с Карацубой Анатолием Алексеевичем (я уверен, что он с удовольствием поможет) или еще с кем-нибудь.

chmax

по лекциям - да

assasin

Насколько я знаю, тоже да. Только \epsilon в утверждениях можно уточнить (подробности можно посмотреть всё в той же книжке Карацубы)

DimQ

Произошла итерация общения с приятелем.
Выяснилось, что есть желание узнать, что известно про существование точной формулы для \pi(x).
Откуда растут ноги. В дальнейшем будет использоваться страничка в сети, за что извиняюсь.
Итак, по адресу можно видеть формулу (14 которая преподносится как точное равенство, где слева стоит \pi(x а про доказательство верности ее ничего не известно. Фигурирующая в правой части равенства ф-ция R определяется рядом в (12 про который говорится: "This series is identical to the Gram series," — см.(13). А вот ряд в (13) это уже ряд из аналитических ф-ций! Тут же надо отметить, что в каком смысле "is identical" — остается нераскрытым. Но все же страничка смуту навела и желание прояснить обстановку вызвала. Далее процитирую вопросы товарища.
1. Я интересуюсь возможностью
точной аппроксимации \pi(x) рядом из
аналитических функций. При этом вопрос со
значением ряда в точках разрыва исходной
функции снимается ее переопределением в
стиле \pi_{0} (x). Погрешность даже порядка о(1)
(“о” малое) нас не устраивает. Не
устраивает и любая асимптотика.

2. Хочется до конца выяснить, что дает вся
эта кухня с сайта wolfram. В каком смысле
понимается эквивалентность R(x) и G(x)?
Тождественны ли они друг другу для всех
иксов или только для больших (опять
асимптотика)? Доказано ли что-нибудь на
этот счет? Вообще, что думают числовики о
формулах типа (14)?

3. Возможность пожинания численных плодов
из точной формулы, коли ее таки удастся
написать и обосновать (или доказать, что
при замене в (14) R на G таковая получается не
является конечно целью. Важен сам факт
существования формулы, дающей закон
распределения, pattern и т.п.

Уже спасибо всем, кто дочитал до этой точки.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: