Несобственный интеграл

bvlady552


При p<0 этот несобственный интеграл сходится по признаку Дирихле.
А что можно сказать о сходимости при p>0?
У меня ничего не получается при p>0. Буду очень рад если кто-нибудь объяснить данный случай.

griz_a

Кэп неудался :(

afony

При [math]$p\geq 0$[/math] не выполнен критерий Коши, так как [math]$\int_{\pi/6+2\pi n}^{5\pi/6+2\pi n} x^p\sin(x)\,dx\geq \pi/3$[/math] при всех натуральных n.

incwizitor

подынтегральная функция не стремится к 0, следовательно интеграл на бесконечности расходится. Ваш капитан очевидность.
мне кажется, что это не является необходимым признаком сходимости интеграла. ваш капитан неочевидность.

bvlady552

Я согласен с вами .
например интеграл такой:

Ведь подинтегральная функция не стремится к нулю, но интеграл сам сходится же.

griz_a

Чорт, всегда знал что из меня плохой кэп :)
Вот что бывает, когда пытаешься второпях воплотить мысль в формулу :(
Конечно, не каждый интеграл похож на ряд, если он начнет очень часто колебаться на бесконечности, то сходство пропадет.
Но тут-то участки положительности\отрицательности постоянной длины, так что на самом деле для этого интеграла моя мысль верна: он разлагается в ряд из интегралов по положительным и отрицательным участкам, которые к 0 не стремятся.

Lene81

мне кажется, что это не является необходимым признаком сходимости интеграла
Зато является необходимым условием абсолютной сходимости

Vlad128

Да не является же, и во втором сообщении тоже не до конца прав. Представьте себе функцию, f(x) = 1, n <= x <= n + 1 / n^2 (для всех натуральных n 0 в противном случае (ступеньки одинаковой высоты и уменьшающейся ширины). Интеграл будет сходиться, но сама функция к нулю не стремится. Даже до непрерывной можно, очевидно, подогнать, сделав спуск в ноль и поднятие по прямой.

Vlad128

А, нет, Frau прав конечно же, я просто давно его сообщение читал, уже забыл, о чем он там говорил :)

incwizitor

Зато является необходимым условием абсолютной сходимости
вы никогда не строили неотрицательную функцию, неограниченную на бесконечности и несобственный интеграл которой существует ?
я помню, мы лесенки рисовали на эту тему : лесенку номер k сдвигаешь вправо, высоту делаешь 2^k, а основание таким, чтобы площадь треугольника была 1/2^k. расстояние между треугольниками тоже увеличиваем

Lene81

Да, точно, вспомнил контрпример из "Контрпримеров в анализе" гл.4 пример 12.

kachokslava


ребята, научитесь уже тегу [mаth]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: