уравнение (x^2-a^2)*f(x)

samsonov

Помогите с уравнением, чтото забыл все на свете:
(x^2-a^2)*f(x)=0
Хочу представить f(x)

dimaxd

Условие можно пояснить поподробнее?

samsonov

Надо как-то выразить f(x).
По ходу дела через дельта функцию

Iron18

Ф = 0

samsonov

ф=0 не катит совсем

Iron18

это ж верный ответ!

samsonov

неверный. даже с точки зрения школьной математики

dimaxd

А * - это умножение?

samsonov

ага

dimaxd

Почему же тогда f(x)=0 неверный ответ? Даже с точки зрения школьной математики?

samsonov

ответ считается верным, когда найдены все решения или доказано что решений нет. А тут когда x=+-a начинаются интересности

samsonov

короче f(x)=0 не катит в точке x=+-a

dimaxd

Ну если x=+-a, то в качестве f(x) можно взять совершенно произвольную функцию, я не прав?
Ой блин, торможу, в точках х=+-a функцию f можно определить произвольно, я это имел в виду.

samsonov

прав. значит f(x)=0 частный случай. Мне нужно все сразу

samsonov

короче по ходу дела: f(x)=delta(x^2-a^2)*Ф(x). Похоже на правду?

dimaxd

Ну вот, таким образом ответ: f(x) является решением уравнения (x^2-a^2)*f(x)=0 тогда и только тогда, когда она имеет вид f(x)=0, x не= +-a, f(a)=A, f(-a)=B, где A,B \in R.

kachokslava

получается - f=0 везде, в точках +-а определяется любым числом.
это всё.
дельта-функция здесь совершенно ни при чём. как ты себе представляешь значение дельта-функции?
я, например, никак не могу представить - только в интегральном выражении или как результат дифференцирования разрывной функции.
а тут ни интегрирования, ни дифференцирования.. в общем вот тебе семейство функций размерности два. оно и будет решением.

samsonov

Ну мне надо было в одну строчку все записать, а не таскать с собой условия - принадлежит, не принадлежит

dimaxd

Ладно, в одну строчку так в одну строчку.
f(x)=A*I{x=a}+B*I{x=-a}, где A,B - произвольные действительные числа.

kachokslava



double f(double x){ return (x==a)?F1x==-a)?F2:0);}


подойдёт?

_shmel_

Вобсчем, как уже писали, f(x) = 0,при x!=+-a, f(a) = C1, f(-a) = C2, для любых C1 и С2.

samsonov

Ну например delta-функцию никак и не представишь, но вот x*delta(x) совершенно строго равно 0. А у меня delta(x)*Ф(x)

samsonov

Так что похоже я прав и можно все это через дельта-функцию представить. Хотя я и не утверждаю

kachokslava

нефига оно нулю не равно.
вот
\int_{-\infty}^{\infty} x\delta(x)dx
нулю равен.
мы про какую дельта функцию разговариваем?

samsonov

свойство дельта-функции - x*d(x)=0. Доказывается ессесно через интеграл

kachokslava

так d(x) это класс функций?

kachokslava

может, там не умножение, а _скалярное_ умножение в некотором пространстве функций ? (что логично представлять в виде интеграла)

samsonov

d(x) - дельта функция. Как ты вообще тогда мыслишь дельта-функцию, стоящую отдельно без интегралов? Во многих областях теорфизики она так и стоит одна. Но, конечно, с оговоркой, что потом она уйдет в интеграле.
Мы вообще об одном и том же в принципе базарим.

kachokslava

да, я представляю что, например, точечный заряд можно представлять в виде дельта функции...
пусть L - пространство функций.
дельта функция - это элемент из сопряжённого (L*) пространства, такой, что
(f,d)=f(0)
по-моему, определение такое.

kachokslava

механики/физики вводят д.ф. так: нулю везде, плюс бесконечность в данной точке, интеграл от д.ф. по любой области, содержащей нужную точку равен единице.
ЗЫ я хотел уточнить - если д.ф. определять как решение ур-я x*d(x)=0, то получается что д.ф. - это класс функций (см. посты выше)

samsonov

Ну Дирак то ее по другому определял :
интеграл от нее равен 1
delta(x)=0 при x<>0
А то что ты написал - свойство. Но это не важно. Почему я не могу таки решение моего уравнения представить через дельта-функцию?

samsonov

x*delta(x)=0 всегда вроде как. это тоже свойство

kachokslava

потому что x*d(x)=/= 0 !

samsonov

Хехе, равен 0
Смотри интерал(f(x)*x*delta(x)*dx)=0 для произвольной f(x) значит x*delta(x)=0. вроде бы так.

kachokslava

хехе кто такая f(x) ? я вот подберу такую, что будет не равен 0

samsonov

f(x) - произвольная непр. функция. Не подберешь!

kachokslava

а откуда тут вдруг непрерывность вылезла?

samsonov

непрерывность для f(x) про дельта-функцию я молчу.
Понятно, что если ты возьмешь 1/x в точке 0 и помножишь на 0 получишь фигню, так что для f(x) я имею право требовать непрерывность

kachokslava

мы так и не сошлись во мнении, как определять дельта-функцию.
из определения дирака никак не следует x*d(x)=0.
что, д.ф. можно умножать только на непрерывные функции?
Вообще-то (перефразируя моё определение) все ползуются таким определением/свойством:

(при условии, что y принадлежит D)

samsonov

Стой, а нуль можно только на непрерывные функции умножать? ведь 0/x при x=0 фигню даст. То же самое и с дельта-функцией. Поэтому x*delta(x) так и дает ноль. причем именно из определения дирака

kachokslava

Стой, а нуль можно только на непрерывные функции умножать? ведь 0/x при x=0 фигню даст
сам-то понял, что сказал?
// я спать - продолжение дискуссии - утром

samsonov

почему фигню. 0*1/x при x=0. я просто не помню - это ноль будет или все-таки нет?

kachokslava

а ты пока подумай, сможешь ли доказать, что (1+x)*d(x)=1 (из определения или как ещё..)
1/x - не непрерывная

samsonov

НУ А я про что говорю. 0 умножить на разрывную функцию фигню даст. Также и x*delta(x) ты домножаешь на непр. функцию чтобы доказать, что x*delta(x) = 0. Может я как то невнятно изланаю свои мысли? Но вроде бы все логично

kachokslava

туда же:
пусть есть g(x).
если int g(x)*f(x)dx даёт 0 для некоторого класса функций f(x) -- отсюда никак не следует, что g(x)=0

samsonov

если f(x) - непрерывные, то следует.

kachokslava

умножить на что-то будет ноль. не логично?

dimaxd

Только если это что-то не бесконечность

samsonov

нет, это кажется нелогичным. В 0*1/x - так мможно определить функцию? тогда в ней есть неопределенность

kachokslava

давай определим сначала, что такое d(x) и на это определение будем опираться

samsonov

ok, давай завтра это сделаем спокойной ночи. А то я не усну

kachokslava

будет ноль. если я умножаю бесконечно малую ("0") на бесконечно большую ("бесконечность") - тогда, да - неопределённость. а тут я умножаю константу на что-то там. совершенно точно будет ноль

kachokslava

ок, я тоже спать.
из определения дирака я чего-то так, с ходу не могу вывести что интеграл будет равен нулю для любой непрерывной f

samsonov

а бесконечность - константа?

kachokslava

к чему это? под константой я имел в виду ноль.
//СПАТЬ!

Alina86

Для произвольной функции g(x) утверждение не верно, могу привести контр-пример.
Это верно лишь для непрерывной g(x). Т.е., если для каждой непрерывной функции f(x)
int g(x)*f(x)dx=0, где функция g(x) непрерывна в области интегрирования, то g(x)=0 на всей области
интегрирования. Это доказывается совершенно элементарно, если вспомнить свойство непрерывной
функции сохранять знак в некоторой окрестности точки, в которой она не ноль.

kachokslava

С этим никто и не спорит, что если g- непрерывна, то это верно. осталось доказать, что x*d(x) - непрерывна
Можно обобщить до функций g, отличных от нуля на множестве положительной меры ( и чтобы она была при этом интегрируема).
но в нашем случае носитель g(x)=x*d(x) - одна точка.
например, для такой функции g это утверждение неверно:
g(x)=0 везде, кроме целых x,
g(x)=1 для целых x
для любой непрерывной f(x) интеграл int f(x)*g(x)dx равен нулю, однако ж g(x)=/=0

Alina86

Насколько я понимаю, дельта-функция "d", о которой вы говорите, определяется
как линейный функционал, действующий на любую пробную функцию из нашего класса
следующим образом: <d,f(x)>=f(0). Тогда, по определению, <x*d,f(x)>=by def=<d,x*f(x)> (1)
Из соотношения (1) следует, что обобщённая функция x*d непрерывна в обобщённом смысле
(что не очень-то важно). Из того же соотношения получаем, <x*d,f(x)>=0 для любых f(x). (2)
Далее, для пробных функций из расширенного L_p (1<=p<infinity, p-вещественное) получаем изоморфизм
гильбертова пространства функционалов на L_p пространству L_q (1/p +1/q=1 которое является полным.
Всилу полноты и соотношения (2) получаем, что x*d=0.

kachokslava

так и определяется. а Транк хочет её как-то по-другому определить - что из этого определения можно получить - я не совсем понимаю
ты мои посты читаешь?
f откуда берём? ил L_p?
тогда соотношению (2) удовлетворяет такая функция g(x): ноль везде, кроме нуля, в котором - допустим - равна единице. такая ф-я очевидно принадлежит L_q (норма её равна 0)
умножая любую f из L_p на построенную g получим 0. отсюда не следует, что g=0.

samsonov

Дельта функция в определении того, кто ее придумал, т.е. Дирака была такой, как я написал, то про что вы говорите следует из такого определения как свойство

AnnaSM

это в обобщенных функциях уравнение
Шварца читай

AnnaSM

По моему что то такое
f(x)=delta(|x|-a)

samsonov

Шварц - что за книга?
Кажись там кроме дельта функции еще должна быть произвольная функция, просто дельта функция не попрет. вот например x*delta(x) попрет в качестве решения, но с условием что потом все это под интеграл куданить уйдет.

Alina86

Посты твои читаю.
f берём из пополненного пространства C_0 c L_p-нормой.
А обычное(неполное) L_p я определяю как пространство непрерывных фунций с L_p-нормой.
Тогда тобой построенная g не принадлежит пополненному L_q, так как не является непрерывной.
В доказательстве я рассматриваю x*d как обобщённую функцию. И произведение подразумеваю
в обобщённом смысле. Просто мне не нравится первая постановка задачи, когда вы пытались
рассматривать d как обычную, но очень жуткую функцию. Я считаю, что всё нужно рассматривать в обощённом
смысле, тогда проблем будет меньше. А выражение <x*d,f(x)> не есть скалярное произведение.
Видимо твоя g имеет какой-то обобщённый аналог, но в более широком, чем L_q-пространстве.

samsonov

А дельта функцию вообще нельзя рассматривать в обычном смысле - у таких функций действительно название - обобщенные функции

Alina86

А мне показалось, что вы её в обычном виде и рассматривали. Зачем же тогда писать d(x явно
указывая зависимость от переменной x из R^n? Я специально писал d, а не d(x подчёркивая её
обобщённость.

kachokslava

Если ты докажешь, что x*d(x) - непрерывна - то я соглашусь, что x*d(x)=0

kachokslava

что, построенная мною g(x) не попадает под определение обобщённой функции?

Serhio68

Ты хочешь непрерывность в обобщённом смысле?
Мне не нравится, что ты пишешь d(x а не d или d[f], так как я не могу рассматривать дельта-функцию не в
обобщённом смысле. Поэтому и могу доказать непрерывность x*d (или, если угодно x*d[f]) только в
обобщённом смысле, что было уже сделано.

Alina86

Sorry. Забыл залогиниться

Alina86

А чем тебе не нравится докозательство через полноту?
Из полноты следует, что ТОЛЬКО нулевой элемент действует на любой элемент из рассматриваемого
пространства нулём. Т.е. из поноты пространства функционалов следует, что, если <x*d,f>=by def=(x*d)[f]=0
для любого элемента f (над которым издеваются элементы из пространства функционаловто x*d=0.

yulial

Советую почитать книжку Шилова "Мат. анализ. Второй специальный курс" или Владимирова "Обобщ. ф-ции в мат. физике".
А ещё попробуй формально сделать преобразование фурье в уравнении. Тогда оператор умножения на (x^2-a^2) перейдёт в дифференциальный -d^2/d\xi^2-a^2. Полученное уравнение решается, а затем возвращаемся от фурье-изображения к оригиналу. Подробности и обоснования должны быть в тех книжках, в разделе о линейных дифф. ур-ях в обобщ. ф-ях. Я их забыл -- занимался ОФ 11 лет назад.

Alina86

Конечно же ты можешь ЛЮБУЮ функцию рассматриавать как обобщённую
(название обобщённая было её дано не на халяву).
Правда она будет издеваться над довольно узким пространством функций.
Но это не важно каким образом эту g(x) можно представить в обобщённом виде.
Важно лишь то, что она не принадлежит L_q, которое я рассматривал.

yulial

После манипуляций с преобр Фурье для изображения получаем: \psi(\xi)=ke^\xi+me^{-\xi} (при a=1). Тогда для оригинала
\int f(x)\phi(x) dx=\int (ke^{id/dx}+me^{-id/dx})\phi(x) dx=
\int (k\phi(x+i)+m\phi(x-i dx.
Что-то мне подсказывает, что это и есть ответ.
Здесь под e^# понимается формальный тейлоровский ряд
1+#+#^2/2!+#^3/3!+...
Если я ошибся, специалисты поправят.

kachokslava

Транк думает. давай я тебя загружу.
Я изложу своё понимание вопроса.
Транк думает, что решение его уравнения можно представить в виде дельта-функции. хорошо, давай я буду её обозначать D.
дело не в обозначении.
Сначало, давай определим что такое D.
пусть есть пространство непр. функций C^0, с нормой интеграл от модуля (правда зачем здесь непрерывность - непонятно, ну да ладно - пусть будет)
рассмотрим сопряжённое пространство - пр-во лин. функционалов над C^0.
Назовём D такой функционал, что
D[f]=f(0)
Надеюсь, это возражений не вызывает.
//я пишу d(x) вполне аргументированно. у нас будет выполнено такое тождество (D- это твоя дельта-функция):
// D[f]=int f(x) d(x) dx
// вроде как можно любой лин. функционал F можно представить в виде скал. произведения: F(f)=<f,g> для
// некоторой g. Только для этого надо пополнить исходное пространство C^0 до того, чтобы туда влезла d(x)
// скалярное произв. <f,g>=int f(x) g(x) dx - вполне логично.
// если не пополнять, то мы не имеем права пользоваться выражением
// int f(x)*x*d(x) dx
далее под == я буду понимать тождественное равенство (три чёрточки)
Далее, Транк утверждает, что x*d(x) == 0 и можно химичить с этой якобы функцией и получать новые функции.
Я возражаю, что это лишено смысла. нельзя себе представить это как функцию.
Далее, возник спор, что если для некоторой функции g(x) (пусть непрерывной) выполняется следующее:
int f(x)*g(x) dx =0 для любой f (пусть любой непрерывной f)
то g(x)==0. (*)
хорошо. с этим я согласен.
далее следует попытка подставить вместо g(x) функцию q(x)=x*d(x) - как бы её Транк ни понимал. Да, интеграл от неё равен нулю для любой f, НО! отсюда не следует, что и q(x)==0, потому что не доказана непрерывность q (неочевидно что про эту функцию вообще можно что-либо утверждать). А для не-непрерывных функций утверждение (*) неверно, что я наглядно (надеюсь) показал.

yulial

Господа!
Прокомментируйте, пожалуйста, моё решение. А то самому интересно стало. Каков же ответ в задаче? Где я лопухнулся?

Alina86

// вроде как можно любой лин. функционал F можно представить в виде скал. произведения: F(f)=<f,g> для
// некоторой g. Только для этого надо пополнить исходное пространство C^0 до того, чтобы туда влезла d(x)
По-моему пополнять не зачем. Ведь, поскольку мы работаем только с ограниченными линейными функционалами
(x*D - линейный и ограниченный то для них верно общее утверждение:
Для всякого такого функционала L, действующего в пространстве H (не обязательно C^0 найдётся
единственный элемент g из H, такой, что L[f]=<g,f> для всех f из H.
Наш случай (функционалы на C^0) описывается этим утверждением (положим H=C^0).
Это означает, что нужный элемент я могу найти и без расширения исходного C^0.
Действительно, для функционала x*D такой элемент лежит в самом C^0, это нулевой элемент.
Так что расширять нет необходимости.
В остальном я с тобой полностью согласен. Более того, считаю, что совершенно некорректно ставить
вопрос о непрерывности в обычном смысле "функции" q(x)=x*d(x). Поэтому мне кажется совершенно бесполезным
для нашей задачи утверждение из классики:

для некоторой функции g(x) (пусть непрерывной) выполняется следующее:
int f(x)*g(x) dx =0 для любой f (пусть любой непрерывной f)
то g(x)==0. (*)

kachokslava


По-моему пополнять не зачем. Ведь, поскольку мы работаем только с ограниченными линейными функционалами
(x*D - линейный и ограниченный то для них верно общее утверждение:
Для всякого такого функционала L, действующего в пространстве H (не обязательно C^0 найдётся
единственный элемент g из H, такой, что L[f]=<g,f> для всех f из H.
т.н. Теорема Риза (Riesz не путать с Риццом (Ritz верна только для гильбертовых пространств (полных). В нашем случае C^0 - не полное.
Выглядит она так:
The Riesz Theorem
Every linear bounded functional $F$ in a Hilbert space $H$ can be expressed in the form
$$ Fu=(u,v $$
where $v$ is a certain element of $H$ uniquely defined by the functional $F$. Moreover, $||v||=||F||$.

это вырезано из реферата по английскому для аспирантов первого года.
В общем тут какая-то лажа.
Если пополнить пространство (чтобы оно было полным и можно было применять теорему то фигня получится - <d,d> как определить?
Хотя с другой стороны, я чего-то не очень верю в ограниченность D.
его можно считать ограниченным только для пространства C^0 с нормой
||f||=max|f(x)|
Если норму брать как интеграл, то ничего путного не получается
В общем - копать и копать.
А к решению уравнения (x^2-a^2)*f(x)=0 дельта-функция ну никакого отношения не имеет.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: