есть ли аналоги теоремы Римана-Роха для нескольких поверхнсотей?

evor

субж

BSCurt

В смысле для нескольких?(и под поверхностью подразумевается Риманова поверхность, т.е. алгебраическая кривая, да?)

3deus

Ну если поверхность состоит из нескольких римановых кривых, почему бы не просуммировать с одной стороны размерности групп когомологий с коэффициентами в пучках, с другой стороны — эйлерову характеристику (точнее её половину: 1 — g) и степень дивизора.
P.S. Как я понял, у Вас была проблема определить величину 1 — g (половину эйлеровой характеристики) в теореме Римана-Роха в случае, когда поверхность состоит, например, из тора и кренделя.

BSCurt

почему бы не просуммировать с одной стороны размерности групп когомологий с коэффициентами в пучках, с другой стороны — род кривых и степень дивизора.
Это очень странное решение, так как суммирование только уменьшает информацию о поверхности.
Вообще для несвязного обледенения римановых поверхностей можно применять теорему Римана-Роха к каждой компоненте по отдельности, ну это всем очевидно поэтому никто и не рассматривает отдельно/специально случай нескольких поверхностей.

3deus

Это очень странное решение, так как суммирование только уменьшает информацию о поверхности. Вообще для несвязного обледенения римановых поверхностей можно применять теорему Римана-Роха к каждой компоненте по отдельности, ну это всем очевидно поэтому никто и не рассматривает отдельно/специально случай нескольких поверхностей.
Это все понятно, я согласен. Но хотел обобщения теоремы — я предложил как.

BSCurt

Но хотела обобщения теоремы — я предложил как.
Ну да только такое обобщение как бы хуже исходного утверждения.

3deus

Ну да только такое обобщение как бы хуже исходного утверждения
Почему ? :confused:
В случае, когда поверхность состоит из одной римановой кривой, получается обычная теорема Римана-Роха.

BSCurt

Исходное утверждение: записать теорему Римана-Роха для каждой связной компоненты по отдельности, позволяет вычислить из знания размерностей половины групп когомологий размерность второй половины групп когомолгий.
Если просуммировать все уравнения получим, что можем вычислить только размерность одной группы когомологий из знания размерностей всех остальных.
Очевидно что второе утверждение слабее и следует из первого.

3deus

Исходное утверждение: записать теорему Римана-Роха для каждой связной компоненты по отдельности, позволяет вычислить из знания размерностей половины групп когомологий размерность второй половины групп когомолгий.
Вы это уже говорили. Я согласен.
Но топикастеру, как я понял, нужна была общая теорема.
P.S. Кстати, думаю, он задал неплохой и почти очевидный вопрос на понимание теоремы Римана-Роха и навык работы с математическими понятиями.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: